Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 45

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Negiere die Aussage, dass eine Folge ${}x_{n}$ in einem angeordneten Körper eine Cauchy-Folge ist, durch Umwandlung der Quantoren.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in ${}\mathbb {Q}$, die (in ${}\mathbb {Q}$) nicht konvergiert.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}K$, die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$. Es gelte

${}\vert {x_{n}-x_{n-1}}\vert \leq {\frac {1}{1000}}\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Folgt daraus, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist?

Aufgabe *

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$. Es gelte

${}\vert {x_{n}-x_{n-1}}\vert \leq {\frac {1}{n}}\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Folgt daraus, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist?

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$ und sei ${}a\in K$ ein Element mit ${}0\leq a<1$. Es gelte

${}\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\,$

für alle ${}n$. Zeige, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$ derart, dass

${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$ gilt. Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Cauchy-Folgen und es sei die Differenzfolge ${}z_{n}-x_{n}$ eine Nullfolge. Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine Teilfolge einer Cauchy-Folge wieder eine Cauchy-Folge ist.

Aufgabe

Es seien ${}K\subseteq L$ angeordnete Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$, die in ${}L$ gegen ${}x\in L$ konvergiert. Zeige, dass die Folge in ${}K$ eine Cauchy-Folge ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine fallende, nach unten beschränkte Folge. Zeige, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ beschränkt ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper und es sei ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge in ${}K$. Zeige, dass die Summenfolge

${}z_{n}=x_{n}+y_{n}\,$

ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine gegen ${}x$ konvergente Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass jede Teilfolge ebenfalls gegen ${}x$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für die Folge der Stammbrüche die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Die Folge ${}{\frac {1}{n}}$ ist eine Nullfolge.
2. Die Folge ${}{\frac {1}{n}}$ ist eine Cauchy-Folge.
3. Der Körper ${}K$ ist archimedisch angeordnet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x\in K$ mit ${}0\leq x\leq {\frac {1}{2}}$. Zeige, dass für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Abschätzung

${}1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}\leq 2\,$

gilt.

Aufgabe

Zwei Personen, ${}A$ und ${}B$, sitzen in der Kneipe. ${}A$ will nach Hause gehen, aber ${}B$ will noch ein Bier trinken. „Na gut, dann trinken wir eben noch ein Bier, das ist aber das allerletzte“ sagt ${}A$. Danach möchte ${}B$ immer noch Bier, aber da das vorhergehende Bier definitiv das letzte war, einigen sie sich auf ein allerletztes halbes Bier. Danach trinken sie noch ein allerletztes Viertelbier, danach noch ein allerletztes Achtelbier, u.s.w. Wie viel „allerletztes Bier“ trinken sie insgesamt?

Aufgabe *

Zeige

${}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {n}{n+1}}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass die Reihe ${}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}$ in einem archimedisch angeordneten Körper konvergiert und bestimme den Grenzwert.

Aufgabe

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Cauchy-Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$, wobei die Differenzfolge ${}y_{n}-x_{n}$ eine Nullfolge sei. Zeige, dass für ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann eine der Alternativen aus Lemma 45.10 gilt, wenn sie für ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gilt.

Aufgabe

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Cauchy-Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$, die im Sinne von Lemma 45.10 positiv seien. Zeige, dass dann auch die Summenfolge ${}x_{n}+y_{n}$ und die Produktfolge ${}x_{n}y_{n}$ positiv sind.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass es eine Teilfolge ${}x_{n_{i}}$, ${}i\in \mathbb {N}$, derart gibt, dass folgende Eigenschaft erfüllt ist: Zu jedem ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ gilt für alle ${}i,j\geq k$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n_{i}}-x_{n_{j}}}\vert \leq {\frac {1}{k}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter vollständiger Körper. Zeige, dass ${}x\in K$ genau dann nichtnegativ ist, wenn ${}x$ eine Quadratwurzel besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Z}$ vollständig ist, dass also jede Cauchy-Folge in ${}\mathbb {Z}$ konvergiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge, die nicht konvergiert, aber eine konvergente Teilfolge enthält.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper ${}K$. Zeige, dass es eine Teilfolge ${}x_{n_{i}},\,i\in \mathbb {N}$, mit der Eigenschaft gibt, dass zu jedem ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ für alle ${}i,j\geq k$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n_{i}}-x_{n_{j}}}\vert \leq {\frac {1}{k}}\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper ${}K$, die sowohl unendlich viele positive als auch unendlich viele negative Folgenglieder besitzt. Zeige, dass es sich um eine Nullfolge handelt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Reihe ${}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\ldots$ beschränkt ist.