Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 44/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$, die beide gegen ${}c\in K$ konvergieren mögen. Zeige, dass die Differenzfolge ${}x_{n}-y_{n}$ eine Nullfolge ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {5}}$ zum Startwert ${}x_{0}=2$. Konvergiert diese Folge in ${}\mathbb {Q}$?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}c\in \mathbb {Q} _{+}$, ${}x_{0}\in \mathbb {Q} _{+}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörige Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$. Wann konvergiert diese Folge in ${}\mathbb {Q}$?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die Folge

${}x_{n}:={\frac {2}{3n+5}}\,$

und

${}\epsilon ={\frac {1}{10}},\,{\frac {1}{100}},\,{\frac {1}{1000}},\,{\frac {1}{10000}},\ldots \,,$

ab welchem (minimalen) ${}n$ die Abschätzung

${}x_{n}\leq \epsilon \,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die Folge

${}x_{n}:={\frac {4n-3}{5n-2}}\,$

und

${}\epsilon ={\frac {1}{10}},\,{\frac {1}{100}},\,{\frac {1}{1000}},\,{\frac {1}{10000}},\ldots \,,$

ab welchem (minimalen) ${}n$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-{\frac {4}{5}}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Folge ${}{\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem archimedisch angeordneten Körper gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass bei einer Folge in einem angeordneten Körper ${}K$ die Änderung von endlich vielen Folgengliedern weder die Konvergenz noch den Grenzwert ändert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei die rationale Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ folgendermaßen definiert: Es sei

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$

die größte Zahl mit ${}a_{n}\in \mathbb {N}$ und mit ${}x_{n}^{2}\leq 5$. Zeige, dass die Folge eine Dezimalbruchfolge ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ sei durch einen Anfangswert ${}x_{0}\in K$ und durch die Rekursionsvorschrift

${}x_{n+1}=-x_{n}\,$

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ sei durch einen Anfangswert ${}x_{0}\in K_{+}$ und durch die Rekursionsvorschrift

${}x_{n+1}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper ${}K$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen ${}x\in K$ konvergiert, wenn die durch

${}y_{n}:=x_{n}-x\,$

gegebene Folge eine Nullfolge ist.

In den folgenden Aufgaben werden die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 44.12 bewiesen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Zeige, dass die Summenfolge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$. Es sei ${}c\in K$. Zeige, dass die Folge ${}{\left(c\cdot x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(c\cdot x_{n}\right)}=c\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass ${}{\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent ist mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}}{x}}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {6n^{3}+3n^{2}-4n+5}{7n^{3}-6n^{2}-2}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * Aufgabe 44.17 ändern

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente Folgen mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass dann ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}I=[a,b]$ ein abgeschlossenes Intervall in ${}K$. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$ mit ${}x_{n}\in I$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Die Folge konvergiere gegen ${}x\in K$. Zeige ${}x\in I$.

Aufgabe * Aufgabe 44.19 ändern

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$. Es gelte ${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$. Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$ konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Folge

${}x_{n}=n\,$

in keinem angeordneten Körper konvergiert. Kann sie beschränkt sein?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die durch

$x_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}$

gegebene Folge (${}n\geq 1$) auf Konvergenz.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung den Grenzwert der Folge

${}x_{n}:={\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}^{n}\,.$

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 13.30 hilfreich.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, in dem die Wurzeln ${}{\sqrt[{n}]{n}}$ zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ existieren. Zeige, dass die Folge ${}x_{n}={\sqrt[{n}]{n}}$ ab ${}n\geq 3$ streng fallend ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei ${}a_{n}$ die Summe der ungeraden Zahlen bis ${}n$ und ${}b_{n}$ die Summe der geraden Zahlen bis ${}n$. Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe Beispiele für positive monoton wachsende unbeschränkte Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ derart, dass die Folge

${\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

1. gegen ${}0$ konvergiert,
2. gegen ${}1$ konvergiert,
3. divergiert.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

${}x_{n}:=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\,.$

1. Finde das kleinste ${}n$ mit

   ${}x_{n}\geq 2\,.$

2. Finde das kleinste ${}n$ mit

   ${}x_{n}\geq 2{,}5\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}a,b\in K_{+}$. Zeige, dass die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{ak+b}}$

divergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {k}}}$

divergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige analog zu Beispiel 44.14, dass das (gliedweise) Produkt der kanonischen Dezimalbruchfolgen von zwei rationalen Zahlen nicht die Dezimalbruchfolge des Produktes sein muss.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass ${}K$ genau dann archimedisch angeordnet ist, wenn die Folge der Stammbrüche ${}{\frac {1}{n}},\,n\geq 1$, gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe Aufgabe 44.31 ändern

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}x_{n},y_{n}\in K_{+}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Die Quadratfolgen ${}x_{n}^{2}$ und ${}y_{n}^{2}$ seien konvergent und es sei ${}x_{n}^{2}-y_{n}^{2}$ eine Nullfolge. Zeige, dass ${}x_{n}-y_{n}$ ebenfalls eine Nullfolge ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}x_{n},y_{n}\in K_{+}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei ${}x_{n}^{2}-y_{n}^{2}$ eine Nullfolge. Zeige, dass ${}x_{n}-y_{n}$ ebenfalls eine Nullfolge ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$. Zeige, dass die Folge eine wachsende oder eine fallende Teilfolge enthält.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der durch

${}x_{n}={\frac {7n^{3}-3n^{2}+2n-11}{13n^{3}-5n+4}}\,$

definierten Folge.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe Beispiele für konvergente Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}x_{n}\neq 0$, ${}n\in \mathbb {N}$, und mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$ derart, dass die Folge

${\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

1. gegen ${}0$ konvergiert,
2. gegen ${}1$ konvergiert,
3. divergiert.

Aufgabe (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit Grenzwert ${}x$. Zeige, dass dann auch die durch

${}y_{n}:={\frac {x_{0}+x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}\,$

definierte Folge gegen ${}x$ konvergiert.

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 44.31 hilfreich.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}c\in K_{+}$. Es seien ${}x_{0},y_{0}\in K_{+}$ Startwerte und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ bzw. ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörigen Heron-Folgen zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$. Zeige, dass ${}x_{n}-y_{n}$ eine Nullfolge ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge

${\left({\frac {n^{3}}{2^{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die beiden Reihen

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+2}}$

divergieren.