Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 11/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen der Zerfällungskörper des Polynoms ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein quadratisches Polynom über einem Körper . Welche Möglichkeiten gibt es für den Zerfällungskörper von ?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und seien Polynome. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung derart gibt, dass diese Polynome in in Linearfaktoren zerfallen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, ein Polynom vom Grad und der Zerfällungskörper von . Zeige, dass die Abschätzung
gilt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei mit gerade. Zeige, dass der Zerfällungskörper von maximal den Grad besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine rationale Zahl und es sei der Zerfällungskörper von . Welchen Grad besitzt (über )? Man gebe für jeden möglichen Grad Beispiele an.
Aufgabe * Aufgabe 11.7 ändern
Das Polynom ist irreduzibel nach Aufgabe 3.17 und definiert daher eine Körpererweiterung
vom Grad . Die Restklasse von in sei mit bezeichnet. Zeige, dass auch die Elemente aus
und
Nullstellen von sind.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei und der Zerfällungskörper zu . Zeige, dass die komplexe Konjugation den Körper in sich überführt, also ein Element in der Galoisgruppe definiert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Körpererweiterung von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine einfache Körpererweiterung ist.
Aufgabe Aufgabe 11.10 ändern
Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte (dabei ist eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung
ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte. Zeige, dass die -te Hintereinanderschaltung des Frobeniushomomorphismus
durch mit gegeben ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlicher Körper der Charakteristik . Zeige, dass der Frobeniushomomorphismus ein Körperautomorphismus ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper der positiven Charakteristik . Sei der Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus invariant unter sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei der Körper mit Elementen. Bestimme die Ordnung des Frobeniushomomorphismus in der Automorphismengruppe von .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Primzahl und , . Zeige, dass kein Vektorraum über sein kann.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die formale Ableitung von
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper der positiven Charakteristik . Bestimme die Menge der Polynome mit formaler Ableitung .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich . Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ein Quadrat in ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass das Polynom die Zerlegung
besitzt, wobei die Faktoren in der zweiten Zerlegung irreduzibel sind. Zeige, dass die Restklassenkörper
untereinander isomorph sind.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Beschreibe den Körper mit acht Elementen als einen Restklassenkörper von . Man gebe eine primitive Einheit in an.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine ungerade Primzahl. Es sei und ein Nichtquadrat.
- Zeige
- Zeige, dass es eine Kette von
rein-quadratischen Erweiterungen
gibt.
- Zeige, dass die Restklasse von in ein Quadrat ist.
- Es sei nun . Zeige, dass die Restklasse von in ein Nichtquadrat ist.
- Es sei und sei ein Nichtquadrat. Zeige, dass für alle irreduzibel ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Finde ein primitives Element in und in . Man gebe ferner ein Element der Ordnung und ein Element der Ordnung in an. Gibt es Elemente der Ordnung und der Ordnung auch in ?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass ein Polynom genau dann keine mehrfachen Nullstellen (und zwar auch nach keiner Körpererweiterung) besitzt, wenn die Diskriminante von verschieden ist.
Verwende Aufgabe 11.29.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 11.24 ändern
Konstruiere endliche Körper mit und Elementen.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Primzahl und . Zeige: ist genau dann ein Unterkörper von , wenn ein Vielfaches von ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Sei eine echte Primzahlpotenz und der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in jedes Element aus ein Quadrat ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Beweise die folgenden Rechenregeln für das formale Ableiten :
- Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist .
- Die Ableitung ist - linear.
- Es gilt die Produktregel, also
Es sei ein Körper. Ein Element heißt mehrfache Nullstelle eines Polynoms , wenn in der Primfaktorzerlegung von das lineare Polynom mit einem Exponenten vorkommt.
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 11.29 ändern
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei und . Zeige, dass genau dann eine mehrfache Nullstelle von ist, wenn ist, wobei die formale Ableitung von bezeichnet.