Lösung
- Man nennt
-

den Durchschnitt der Mengenfamilie.
- Die Abbildung
-
die jedes Element
auf das eindeutig bestimmte Element
mit
abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu
.
- Zu
sei
diejenige
-Matrix, die entsteht, wenn man in
die erste Spalte und die
-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von
durch
-
- Man nennt
-

den Eigenraum von
zum Wert
.
- Die
lineare Abbildung
-
heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl
derart gibt, dass die
-te
Hintereinanderschaltung
-
ist.
- Eine Familie von Punkten
,
,
heißt affines Erzeugendensystem von
, wenn
der kleinste affine Unterraum von
ist, der alle Punkte
umfasst.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der
Basisergänzungssatz.
- Der Satz über die Verknüpfung linearer Abbildungen
- Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.
Lösung
- Es sei
ein Körper
und
ein
endlichdimensionaler
-Vektorraum
der
Dimension
. Es seien
-
linear unabhängige
Vektoren in
. Dann gibt es Vektoren
-
derart, dass
-
eine
Basis
von
bilden.
- Es sei
ein Körper und seien
Vektorräume
über
. Es seien
-
lineare Abbildungen. Dann ist auch die
Verknüpfung
-
eine lineare Abbildung.
- Sei
-
ein trigonalisierbarer
-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen
-Vektorraum
. Dann gibt es eine Zerlegung
-

wobei
diagonalisierbar,
nilpotent und zusätzlich
-

gilt.
Negiere die Aussage „Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß“ durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.
Lösung
Martina findet Markus zuckersüß oder es gibt im Kurs einen von Markus verschiedenen Jungen, den sie nicht zuckersüß findet.
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)
Lösung
- Sei
injektiv, es ist zu zeigen, dass auch
injektiv ist. Aufgrund der Kommutativität des Diagramms und der Bijektivität von
ist
-

Somit ist
als Verknüpfung von drei injektiven Abbildungen wieder injektiv. Wenn man im Diagramm
und
durch ihre
Umkehrabbildungen
ersetzt, so sieht man, dass auch die andere Implikation gilt.
- Sei
surjektiv, es ist zu zeigen, dass auch
surjektiv ist. Aufgrund der Kommutativität des Diagramms und der Bijektivität von
ist
-

Somit ist
als Verknüpfung von drei surjektiven Abbildungen wieder surjektiv. Wenn man im Diagramm
und
durch ihre Umkehrabbildungen ersetzt, so sieht man, dass auch die andere Implikation gilt.
Löse das
inhomogene Gleichungssystem
-
Lösung
Wir eliminieren zuerst die Variable
, indem wir die erste Gleichung von der vierten Gleichung abziehen. Dies führt auf
-
Nun eliminieren wir die Variable
, indem wir
(bezogen auf das vorhergehende System)
und
ausrechnen. Dies führt, nachdem wir die neue erste Gleichung durch sieben teilen, auf
-
Mit
ergibt sich
-

und
-

Rückwärts gelesen ergibt sich
-

-

und
-

Es seien
-Matrizen
und
gegeben. Das Produkt
ergibt sich mit der üblichen Multiplikationsregel „Zeile x Spalte“, bei der man insgesamt
Multiplikationen im Körper
ausführen muss. Wir beschreiben, wie man diese Matrixmultiplikation mit nur
Multiplikationen
(aber mit mehr Additionen)
durchführen kann. Wir setzen
-

-

-

-

-

-

-

Zeige, dass für die Koeffizienten der Produktmatrix
-

die Gleichungen
-

-

-

-

gelten.
Lösung
Es ist




gelten.
Man gebe ein Beispiel für einen
Körper
, eine
kommutative Gruppe
und eine Abbildung
-
derart, dass diese Struktur alle
Vektorraumaxiome
außer
-
erfüllt.
Lösung
Es sei
ein beliebiger Körper. Wir betrachten die „Skalarmultiplikation“
-
die jedes Paar
auf
abbildet. Dann ist
-

und somit ist das letzte Vektorraumaxiom nicht erfüllt. Alle anderen Vektorraumaxiome sind hingegen erfüllt, da jeweils auf beiden Seiten stets
steht.
Lösung
Die Zeilen der Matrix seien mit
bezeichnet. Es ist
-

und
-

Somit tragen die achte und die neunte Zeile nichts zur Vektorraumdimension bei, da sie in dem von den ersten sieben Zeilen erzeugten Untervektorraum liegen. Ferner zeigen diese Gleichungen, dass man die siebte Zeile durch die Zeile
-

und die sechste Zeile
(durch
und damit)
durch
-

ersetzen kann. Wir berechnen
-

-

-

-

und bezeichnen hinfort die mit
multiplizierten Vektoren mit
.
Es ist

In der Reihenfolge
-
sind diese Vektoren in oberer Dreiecksgestalt und somit ist die Dimension gleich
.
Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen.
Lösung
Es sei
-

Finde
Elementarmatrizen
derart, dass
die Einheitsmatrix ist.
Lösung
Wir multiplizieren die gegebene Matrix nacheinander mit Elementarmatrizen, bis sich die Einheitsmatrix ergibt. Es ist
-

-

-

-

Somit ist insgesamt
-

Es sei
das
Bild
der
Abbildung
-
Skizziere die Bilder von
unter den
Projektionen
auf die verschiedenen Koordinatenebenen.
Lösung Projektionen/t t^2 t^3/Skizziere/Aufgabe/Lösung
Lösung
Wir fixieren die Matrix
.
Es sei zunächst
.
Dann ist nach
Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
die Matrix
nicht
invertierbar
und damit ist auch
nicht invertierbar und somit wiederum
. Sei nun
invertierbar. In diesem Fall betrachten wir die wohldefinierte Abbildung
-
Wir wollen zeigen, dass diese Abbildung gleich der Abbildung
ist, indem wir die die Determinante charakterisierenden Eigenschaften nachweisen und
Satz 17.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
anwenden. Wenn
die Zeilen von
sind, so ergibt sich
, indem man auf die Zeilen
die Determinante anwendet und mit
multipliziert. Daher folgt die Multilinearität und die alternierende Eigenschaft aus
Aufgabe 16.28 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).
Wenn man mit
startet, so ist
und daher ist
-

Aufgabe (6 (1+1+1+2+1) Punkte)
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
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gegebene Abbildung
von
in sich selbst.
- Erstelle eine Wertetabelle für
.
- Erstelle eine Wertetabelle für
.
- Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen
bijektiv
sind.
- Bestimme für jedes
das minimale
mit der Eigenschaft, dass
-

ist.
- Bestimme das minimale
mit der Eigenschaft, dass
-

für alle
ist.
Lösung
- Es ist
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- Es ist
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- Aus der Wertetabelle kann man unmittelbar entnehmen, dass
bijektiv ist. Nach
Fakt ***** (3)
sind dann sämtliche Hintereinanderschaltungen der Abbildung mit sich selbst wieder bijektiv.
- Die Abbildungsvorschrift bewirkt
-
und
-
Für
ist also
und für
ist
.
- Bei
sind nach Teil (4) die Zahlen
wieder an ihrer Stelle, aber auch
sind an ihrer Stelle, da
ein Vielfaches von
ist.
Bestimme für das Polynom
-

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu
.
Lösung
Lösung
Wir betrachten die drei Ebenen
im
, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.
-

-

-

Bestimme sämtliche Punkte
.
Lösung
Wir betrachten das lineare Gleichungssystem
-

-

-

Die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems ist
. Es ist
gleich
-

und
gleich
-

Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt
-

also
-

Somit ist
-

und
-

Es ist also
-

Der Durchschnitt
wird durch das lineare Gleichungssystem
-

-

beschrieben. Die Lösungsmenge ist
-

Für
-

ergibt sich dabei der einzige Punkt aus
. Somit ist insgesamt
-
