Lösung
- Eine Abbildung
von
nach
ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge
genau ein Element der Menge
zugeordnet wird.
- Die Abbildung
heißt surjektiv, wenn es für jedes
mindestens ein Element
mit
gibt.
- Eine Menge
heißt ein Körper, wenn es zwei
Verknüpfungen
(genannt Addition und Multiplikation)
-
und zwei verschiedene Elemente
gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Axiome der Addition
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt:
.
- Kommutativgesetz: Für alle
gilt
.
ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle
ist
.
- Existenz des Negativen: Zu jedem
gibt es ein Element
mit
.
- Axiome der Multiplikation
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt:
.
- Kommutativgesetz: Für alle
gilt
.
ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle
ist
.
- Existenz des Inversen: Zu jedem
mit
gibt es ein Element
mit
.
- Distributivgesetz:
Für alle
gilt
.
- Es sei
eine Familie von Vektoren in
. Dann heißt der Vektor
-
eine Linearkombination dieser Vektoren
- Die Vektoren
heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung
-
nur bei
für alle
möglich ist.
- Unter der Dimension eines Vektorraums
versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von
.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper
.
- Das
Superpositionsprinzip
für ein inhomogenes
(und das zugehörige homogene)
Gleichungssystem über einem Körper
.
- Das
Basisaustauschlemma.
Lösung
- Aus
mit
folgt
oder
.
- Es sei
ein Körper und
-
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über
und es sei
-
das zugehörige homogene Gleichungssystem. Wenn
eine Lösung des inhomogenen Systems und
eine Lösung des homogenen Systems ist, so ist
eine Lösung des inhomogenen Systems.
- Es sei
ein Körper und
ein
-Vektorraum mit einer Basis
. Es sei
ein Vektor mit einer Darstellung
-

wobei
sei für ein bestimmtes
. Dann ist auch die Familie
-
eine Basis von
.
Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?
Lösung
Karl hat nicht an Susanne gedacht, da er sonst einen Kloß im Hals bekommen hätte, was er nicht hat. Andererseits bekommt er einen roten Kopf, was bedeutet, dass er das leere Tor nicht getroffen hat oder an Susanne gedacht hat. Da letzteres nicht der Fall ist, hat er das leere Tor nicht getroffen.
Lösung
Es sei
der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten
-
und mit BC50 hat man die Kosten
-
Die Bedingung
-
führt auf
-
Die Bedingung
-
führt auf
-
Die Bedingung
-
führt auf
-
also
-
Also ist für
keine Bahncard die günstigste Option, für
ist die BC25 die günstigste Option und für
ist die BC50 die günstigste Option.
Lösung
Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)
Lösung
- Es ist

- Es ist

- Es ist einerseits

und andererseits

Es seien
und
Mengen und es sei
-
eine Abbildung mit dem
Graphen
. Zeige, dass die Abbildung
-
eine Bijektion zwischen
und dem Graphen
induziert. Was ist die Verknüpfung von
mit der zweiten Projektion
-
Lösung
Zur Injektivität: Wenn
,
so ist
-

da ja jedenfalls die erste Komponente verschieden ist. Zur Surjektivität: Wenn
ist, so hat
die Gestalt
.
Also ist
.
Die Hintereinanderschaltung
stimmt wegen
-

mit
überein.
Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
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gegebene Abbildung
-
a) Bestimme das Bild von
unter
.
b) Bestimme das Urbild von
unter
.
c) Erstelle eine Wertetabelle für
-

Lösung
a) Das Bild von
ist
.
b) Das Urbild von
ist
.
c)
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Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper
.
Lösung
Lösung
Es ist
-

aber
-

Berechne das
Matrizenprodukt
-
Lösung
Es ist
-

Lösung
Lösung
Es sei
der Preis für ein Schneeglöckchen und
der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt
-

und
-

Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man
-

und damit
-

Daraus ergibt sich
-

und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich
-

Löse das
inhomogene Gleichungssystem
-
Lösung
Wir eliminieren zuerst die Variable
, indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und
hinzunehmen. Dies führt auf
-
Nun eliminieren wir die Variable
, indem wir
(bezogen auf das vorhergehende System)
und
ausrechnen. Dies führt auf
-
Mit
ergibt sich
-

und
-

Rückwärts gelesen ergibt sich
-

-

und
-

Bestimme für die Teilmenge
-

welche der Untervektorraumaxiome erfüllt sind und welche nicht.
Lösung
Bestimme
(ohne Begründung),
welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im
als Lösungsmenge eines linearen
(inhomogenen)
Gleichungssystems auftreten können
(man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt).
-
-
-
-
-
Lösung
2 (Gerade) und 5 (Punkt) können als Lösungsmenge eines Gleichungssystems auftreten, die anderen nicht.
Drücke in
den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Lösung
Es geht darum, das lineare Gleichungssystem
-
zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der dritten Gleichung die Variable
aus der ersten Gleichung. Das resultierende System ist
(
)
-
Wir eliminieren nun aus
mittels
die Variable
, das ergibt
(
)
-
Wir können jetzt dieses System lösen. Es ist
-
-

und
-

Also ist
-

Man gebe im
drei Vektoren an, so dass je zwei von ihnen
linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.
Lösung Lineare Unabhängigkeit/R^3/Drei Vektoren paarweise unabhängig/Aufgabe/Lösung
Es sei
ein
-Vektorraum
und es seien
Vektoren. Zeige, dass
genau dann
linear unabhängig
sind, wenn
linear unabhängig sind.
Lösung
Seien
linear unabhängig und sei
-

eine Darstellung der
. Dies bedeutet
-

woraus wegen der linearen Unabhängigkeit
-

also
-

folgt.
Seien nun umgekehrt
linear unabhängig und sei
-

eine Darstellung der
. Dann ist
-

Daraus ergibt sich
-

und daraus
-

Im
seien die beiden Untervektorräume
-
und
-
gegeben. Bestimme eine Basis für
.
Lösung
Jeder Vektor aus dem Durchschnitt
besitzt eine Darstellung
-
Die Koeffiziententupel
bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
-
das wir lösen müssen. Wir ersetzen die erste Gleichung durch
-
und die dritte Gleichung durch
-
Wir wählen
, so dass
sein muss. Dies legt eindeutig
und dann auch
fest. Daher ist der Durchschnitt
eindimensional und
-

ist ein Basisvektor von
.
Beweise den Basisaustauschsatz.
Lösung
Wir führen Induktion über
, also über die Anzahl der Vektoren in der Familie. Bei
ist nichts zu zeigen. Sei die Aussage für
schon bewiesen und seien
linear unabhängige Vektoren
-
gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die
(ebenfalls linear unabhängigen) Vektoren
-
gibt es eine Teilmenge
derart, dass die Familie
-
eine Basis von
ist. Wir wollen auf diese Basis
das Austauschlemma
anwenden. Da eine Basis vorliegt, kann man
-

schreiben.
Wären hierbei alle Koeffizienten
, so ergäbe sich sofort ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der
,
.
Es gibt also ein
mit
. Wir setzen
. Damit ist
eine
-elementige Teilmenge von
. Nach dem Austauschlemma kann man den Basisvektor
durch
ersetzen und erhält die neue Basis
-
Der Zusatz folgt sofort, da eine

-elementige Teilmenge einer

-elementigen Menge vorliegt.
Lösung
Der Produktraum besitzt die Dimension
. Um dies zu beweisen sei
eine
Basis von
und
eine Basis von
. Wir behaupten, dass die Elemente
-
eine Basis von

bilden.
Sei
. Dann gibt es Darstellungen
-
Daher ist

d.h., es liegt ein Erzeugendensystem vor.
Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei
-
angenommen. Die gleiche Rechnung rückwärts ergibt
-
und das bedeutet
-
Da es sich jeweils um Basen handelt, folgt
für alle
und
für alle
.