Kurs:Lineare Algebra/Teil I/37/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	1	5	2	4	0	0	5	0	7	4	4	3	6	0	0	0	47

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung der Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Der Graph zu einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
3. Die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ zu einer weiteren Basis ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
4. Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

5. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$, wobei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum ist.
6. Eine affine Basis in einem affinen Raum ${}E$ über einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Die Menge

   ${}L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$

   heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

2. Man nennt

   $\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M$

   den Graphen der Abbildung ${}F$.

3. Es sei

   ${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}u_{i}\,$

   mit den Koeffizienten ${}c_{ij}\in K$. Dann nennt man die ${}n\times n$-Matrix

   ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}=(c_{ij})_{ij}\,$

   die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {u}}$.

4. Ein Element ${}v\in V$, ${}v\neq 0$, heißt ein Eigenvektor von ${}\varphi$, wenn

   ${}\varphi (v)=\lambda v\,$

   mit einem gewissen ${}\lambda \in K$ gilt.

5. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.
6. Eine Familie von Punkten ${}P_{i}\in E$, ${}i\in I$, in einem affine Raum ${}E$ über einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ heißt eine affine Basis von ${}E$, wenn zu einem ${}i_{0}\in I$ die Vektorfamilie

   ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}},i\in I\setminus \{i_{0}\},$

   eine Basis von ${}V$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Basisaustauschsatz.
2. Der Satz über die Dimension der Homomorphismenräume.
3. Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einer Basis

   $b_{1},\ldots ,b_{n}.$

   Ferner sei

   $u_{1},\ldots ,u_{k}$

   eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in ${}V$. Dann gibt es eine Teilmenge ${}J=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}=I$ derart, dass die Familie

   $u_{1},\ldots ,u_{k},b_{i},i\in I\setminus J,$

   eine Basis von ${}V$ ist.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume mit den Dimensionen ${}n$ bzw. ${}m$. Dann ist

   ${}\dim _{K}{\left(\operatorname {Hom} {\left(V,W\right)}\right)}=nm\,.$

3. Ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}d$ besitzt maximal ${}d$ Nullstellen.

Aufgabe (1 Punkt)

Um eine Bevölkerung gegen ein bestimmtes Virus zu schützen, braucht man eine Herdenimmunität von ${}70\%$. Eine Impfung führt zu ${}95\%$ zur Immunität. Wie viel Prozent der Bevölkerung müssen geimpft werden, um die Herdenimmunität zu erreichen?

Lösung

Es sei ${}x$ der Anteil der Bevölkerung, der geimpft werden muss, um die Herdenimmunität zu erreichen. Es gilt dann die Bedingung

${}x\cdot 0,95=0,7\,,$

also

${}x={\frac {0,7}{0,95}}={\frac {\frac {7}{10}}{\frac {19}{20}}}={\frac {14}{19}}=0,7368...\cong 0,74\,,$

also ca. ${}74\%$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}n$ Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von ${}n$) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.

Lösung

Die maximale Anzahl der Schnittpunkte ist ${}{\frac {n(n-1)}{2}}$. Dies beweisen wir durch Induktion über ${}n$. Bei keiner oder einer Geraden gibt es keinen Schnittpunkt, die Formel ist also richtig, und dies sichert den Induktionsanfang. Es sei die Aussage nun für ${}n$ Geraden bewiesen, und es komme eine neue Gerade hinzu. Diese neue Gerade hat mit jeder der vorgegebenen Geraden höchstens einen Schnittpunkt. Wenn die neue Gerade einen Richtungsvektor besitzt, der von allen Richtungsvektoren der ${}n$ Geraden verschieden ist, so besitzt die neue Gerade mit jeder alten Geraden einen Schnittpunkt. Da es unendlich viele Richtungsvektoren gibt, kann man stets eine neue Richtung für die neue Gerade wählen. Indem man die neue Gerade parallel verschiebt, kann man auch erreichen, dass die neuen Schnittpunkte von den alten Schnittpunkten verschieden sind. Es kann also erreicht werden, dass genau ${}n$ Schnittpunkte hinzukommen. Wenn die ${}n$ Geraden die maximale mögliche Anzahl von Schnittpunkten haben, so hat die neue Geradenkonfiguration genau

${}{\frac {n(n-1)}{2}}+n={\frac {n(n-1)+2n}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}\,$

Schnittpunkte (und wenn die ${}n$ Geraden weniger als ${\frac {n(n-1)}{2}}$ Schnittpunkte haben, so hat auch die neue Geradenkonfiguration weniger als ${\frac {(n+1)n}{2}}$ Schnittpunkte), was den Induktionsschritt beweist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}(M,*)$ und ${}(N,\circ )$ Mengen mit Verknüpfungen und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine mit den Verknüpfungen verträgliche surjektive Abbildung, es gelte also

${}\varphi (x*y)=\varphi (x)\circ \varphi (y)\,.$

Die Verknüpfung auf ${}M$ sei assoziativ. Zeige, dass auch die Verknüpfung auf ${}N$ assoziativ ist.

Lösung

Es seien ${}r,s,t$ Elemente in ${}N$. Wegen der Surjektivität gibt es Elemente ${}x,y,z\in M$ mit ${}\varphi (x)=r$, ${}\varphi (y)=s$, ${}\varphi (z)=t$. Somit ist unter Verwendung der Assoziativität von ${}*$ und der Verträglichkeit

${}{\begin{aligned}r\circ (s\circ t)&=\varphi (x)\circ (\varphi (y)\circ \varphi (z))\\&=\varphi (x)\circ \varphi (y*z)\\&=\varphi (x*(y*z))\\&=\varphi ((x*y)*z)\\&=\varphi (x*y)\circ \varphi (z)\\&=(\varphi (x)\circ \varphi (y))\circ \varphi (z)\\&=(r\circ s)\circ t.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Lösung

Wegen

${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}0=0\,$

für alle

${}i=1,\ldots ,m\,$

ist das Nulltupel ${}(0,\ldots ,0)$ eine Lösung. Es seien ${}\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ und${}\left(y_{1},\,\ldots ,\,y_{n}\right)$ Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu ${}s\in K$ ist dann für jedes ${}i$

${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(sx_{j}\right)}=s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}=s\cdot 0=0\,.$

Entsprechend ist

${}{\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(x_{j}+y_{j}\right)}&=\sum _{j=1}^{n}{\left(a_{ij}x_{j}+a_{ij}y_{j}\right)}\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}+{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}\\&=0+0\\&=0\end{aligned}}$

für alle ${}i$. Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untervektorraum.

Der Gesamtlösungsraum ist der Durchschnitt der Lösungsräume zu den einzelnen Gleichungen.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation.

Lösung

Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}K^{p}&{\stackrel {M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}(\psi )}{\longrightarrow }}&K^{n}&{\stackrel {M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )}{\longrightarrow }}&K^{m}&\\\!\!\!\!\!\Psi _{\mathfrak {u}}\downarrow &&\!\!\!\!\!\Psi _{\mathfrak {v}}\downarrow &&\downarrow &&\\U&{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}&V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei die Kommutativität auf der Beziehung

${}\varphi \circ \Psi _{\mathfrak {v}}=\Psi _{\mathfrak {w}}\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\,$

aus Lemma 10.14 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) beruht. Dabei sind die (inversen) Koordinatenabbildungen ${}\psi _{\mathfrak {v}}$ jeweils bijektiv, und somit ist

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=\Psi _{\mathfrak {w}}^{-1}\circ \varphi \circ \Psi _{\mathfrak {v}}\,.$

Also ist insgesamt

${}{\begin{aligned}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}(\varphi \circ \psi )&=\Psi _{\mathfrak {w}}^{-1}\circ (\varphi \circ \psi )\circ \Psi _{\mathfrak {u}}\\&={\left(\Psi _{\mathfrak {w}}^{-1}\circ \varphi \right)}\circ {\left(\Psi _{\mathfrak {v}}\circ \Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}\right)}\circ {\left(\psi \circ \Psi _{\mathfrak {u}}\right)}\\&={\left(\Psi _{\mathfrak {w}}^{-1}\circ \varphi \circ \Psi _{\mathfrak {v}}\right)}\circ {\left(\Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}\circ \psi \circ \Psi _{\mathfrak {u}}\right)}\\&=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}(\psi ),\end{aligned}}$

wobei hier überall die Abbildungsverknüpfung steht. Nach Aufgabe 10.20 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) stimmt die letzte Verknüpfung mit dem Matrixprodukt überein.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es seien ${}L_{1},\ldots ,L_{m}$ Linearformen auf ${}V$. Zeige, dass die Beziehung

${}\bigcap _{i=1}^{m}\operatorname {kern} L_{i}=0\,$

genau dann gilt, wenn die ${}L_{1},\ldots ,L_{m}$ ein Erzeugendensystem des Dualraums ${}{V}^{*}$ bilden.

Lösung

Es sei ${}L_{1},\ldots ,L_{m}$ ein Erzeugendensystem von ${}{V}^{*}$. Wenn der Durchschnitt der Kerne nicht der Nullraum wäre, so gäbe es einen Vektor ${}v\in \bigcap _{i=1}^{m}\operatorname {kern} L_{i}$ mit ${}v\neq 0$. Nach Lemma 14.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gibt es eine Linearform ${}f$ mit ${}f(v)\neq 0$. Da die ${}L_{i}$ ein Erzeugendensystem sind, kann man aber

${}f=\sum _{i=1}^{m}a_{i}L_{i}\,$

schreiben, und dann erhält man den Widerspruch

${}f(v)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}L_{i}(v)=0\,.$

Es gelte nun

${}\bigcap _{i=1}^{m}\operatorname {kern} L_{i}=0\,,$

und sei ${}f$ eine beliebige Linearform. Wir betrachten die Produktabbildung

$L=L_{1}\times \cdots \times L_{m}\colon V\longrightarrow K^{m},\,v\longmapsto \left(L_{1}(v),\,\ldots ,\,L_{m}(v)\right).$

Nach Voraussetzung ist deren Kern gleich ${}0$. Daher ist wegen Lemma 11.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) diese Abbildung injektiv und der Bildraum ${}L(V)$ ist ein Untervektorraum von ${}K^{m}$, der zu ${}V$ isomorph ist. Die Linearform ${}f$ kann man als eine Linearform auf ${}L(V)$ auffassen, die wir ${}{\tilde {f}}$ nennen. Es sei

${}W\subseteq K^{m}\,$

ein direktes Komplement von ${}L(V)$. Über die lineare Projektion ${}p_{\varphi (V)}$ kann man ${}{\tilde {f}}$ zu einer Linearform auf ${}K^{m}$ fortsetzen. Diese wird durch einen Zeilenvektor ${}\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{m}\right)$ beschrieben. Daher gilt

${}f=a_{1}L_{1}+\cdots +a_{m}L_{m}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über Permutationen und Transpositionen.

Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Menge ${}M$. Für ${}{\#\left(M\right)}=1$ ist nichts zu zeigen, sei also ${}{\#\left(M\right)}\geq 2$. Die Identität ist das leere Produkt aus Transpositionen. Es sei also ${}\pi$ nicht die Identität, und sei ${}\pi (x)=y\neq x$. Es sei ${}\tau$ die Transposition, die ${}x$ und ${}y$ vertauscht. Dann ist ${}y$ ein Fixpunkt von ${}\pi \tau$, und man kann ${}\pi \tau$ auffassen als eine Permutation auf ${}M'=M\setminus \{y\}$. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es dann Transpositionen ${}\tau _{j}$ auf ${}M'$ mit ${}\pi \tau =\prod _{j}\tau _{j}$ auf ${}M'$. Dies gilt dann auch auf ${}M$, und daher ist ${}\pi ={\left(\prod _{j}\tau _{j}\right)}\tau$.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.

Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}d$. Für ${}d=0,1$ ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also ${}d\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei ${}a$ eine Nullstelle von ${}P$ (falls ${}P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist ${}P=Q(X-a)$ nach Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) und ${}Q$ hat den Grad ${}d-1$, sodass wir auf ${}Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom ${}Q$ hat also maximal ${}d-1$ Nullstellen. Für ${}b\in K$ gilt ${}P(b)=Q(b)(b-a)$. Dies kann nach Satz . (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (5) nur dann ${}0$ sein, wenn einer der Faktoren ${}0$ ist, sodass eine Nullstelle von ${}P$ gleich ${}a$ ist oder aber eine Nullstelle von ${}Q$ ist. Es gibt also maximal ${}d$ Nullstellen von ${}P$.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine quadratische Gleichung der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ die einzige Lösung ist.

2. Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ eine Lösung ist.

Lösung

Für jede ganze Zahl ${}k$ ist generell

${}(x-17)(x-k)=x^{2}-(k+17)x+17k\,.$

Dies führt zu einer quadratischen Gleichung mit ${}p=-(k+17)$ und ${}q=17k$. Wenn man darin ${}x$ gleich ${}17$ setzt, ergibt sich ${}0$ wegen dem ersten Faktor. Somit sind unendlich viele quadratische Gleichungen mit Koeffizienten aus ${}\mathbb {Z}$ gefunden, die ${}17$ als Lösung besitzen. Wenn man

${}k=17\,$

setzt, so erhält man die quadratische Gleichung

${}(x-17)(x-17)=x^{2}-34x+289=0\,.$

Für diese ist nur ${}17$ eine Lösung.

Aufgabe (6 (1+3+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]_{\leq d}$ der ${}K$- Vektorraum aller Polynome vom Grad ${}\leq d$. Zu ${}z\in K$ bezeichne ${}\operatorname {Ev} _{z}$ die Auswertung an ${}z$, also die Abbildung

$\operatorname {Ev} _{z}\colon K[X]_{\leq d}\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(z).$

a) Zeige, dass ${}\operatorname {Ev} _{z}$ linear ist.

b) Es seien ${}d+1$ Punkte ${}z_{1},z_{2},\ldots ,z_{d+1}\in K$ gegeben. Zeige, dass ${}\operatorname {Ev} _{z_{1}},\ldots ,\operatorname {Ev} _{z_{d+1}}$ eine Basis des Dualraumes ${}{\left(K[X]_{\leq d}\right)}^{*}$ ist.

c) Zeige, dass nicht jede Linearform auf ${}K[X]_{\leq d}$ eine Auswertung an einem Punkt ${}w\in K$ ist.

Lösung

a) Für Polynome ${}P,Q\in K[X]_{\leq d}$ und Skalare ${}r,s\in K$ und ${}z\in K$ ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {Ev} _{z}(rP+sQ)&=(rP+sQ)(z)\\&=rP(z)+sQ(z)\\&=r\operatorname {Ev} _{z}(P)+s\operatorname {Ev} _{z}(Q),\end{aligned}}$

was die Linearität bedeutet.

b) Wir betrachten die Familie von Polynomen vom Grad ${}d$, die durch

${}P_{j}=(X-z_{1})\cdots (X-z_{j-1})(X-z_{j+1})\cdots (X-z_{d+1})\,$

gegeben ist. Die Evaluationen ${}\operatorname {Ev} _{z_{i}}$ haben an diesen Polynomen den Wert

${}\operatorname {Ev} _{z_{i}}(P_{j})=P_{j}(z_{i})={\begin{cases}0,{\text{ falls }}i\neq j\,,\\\prod _{k\neq i}(z_{i}-z_{k})\neq 0,{\text{ falls }}i=j\,.\end{cases}}\,$

Mit Lemma 14.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) folgt, dass die gegebenen ${}d+1$ Auswertungen linear unabhängig sind. Da der Raum ${}K[X]_{\leq d}$ die Dimension ${}d+1$ besitzt und der Dualraum nach Korollar 13.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ebenfalls diese Dimension hat, bilden die Auswertungen nach Korollar 8.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) eine Basis des Dualraumes.

c) Wir betrachten die Nullform auf ${}K[X]_{\leq 1}$. Zu jedem Punkt ${}w\in K$ gibt es ein lineares Polynom, beispielsweise ${}X-w+1$, das an der Stelle ${}w$ nicht den Wert ${}0$ besitzt. Daher kann die Nullform nicht die Auswertung an einem Punkt sein.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung