Kurs:Lineare Algebra/Teil II/10/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	4	0	5	2	5	0	2	4	4	0	4	5	47

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Orthonormalbasis in einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt.
2. Die Höhe in einem Dreieck.
3. Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe ${}H\subseteq G$.
4. Die Gramsche Matrix zu einer Sesquilinearform auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum ${}V$ bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$.
5. Eine kompakte Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
6. Die Äquivalenz von zwei Normen ${}\Vert {-}\Vert _{1}$ und ${}\Vert {-}\Vert _{2}$ auf einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Eine Basis ${}v_{i},\,i\in I$, von ${}V$ heißt Orthonormalbasis, wenn

   $\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für alle }}i\in I{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$

   gilt.

2. Zu einem Dreieck ${}A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade durch ${}A$, die senkrecht auf der Geraden durch ${}B$ und ${}C$ steht, die Höhengerade durch ${}A$. Die Verbindungsstrecke von ${}A$ zur Geraden durch ${}B$ und ${}C$ heißt Höhe durch ${}A$.
3. Für Elemente ${}x,y\in G$ setzt man ${}x\sim _{H}y$, wenn ${}x^{-1}y\in H$ gilt.
4. Die ${}n\times n$- Matrix

   $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$

   heißt die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.

5. Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
6. Die beiden Normen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Topologie, also die gleichen offenen Mengen definieren.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz des Pythagoras in einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.
2. Das Eigenwertkriterium für eine reell-symmetrische Bilinearform.
3. Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.

Lösung

1. Es seien ${}u,v\in V$ Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen. Dann ist

   ${}\Vert {u+v}\Vert ^{2}=\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$

2. Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Dann besitzt der Typ ${}(p,q)$ der Form folgende Interpretation: ${}p$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu ${}G$ zu positiven Eigenwerten und ${}q$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu ${}G$ zu negativen Eigenwerten.
3. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

   1. ${}\varphi$ ist stabil.
   2. Zu jedem ${}v\in V$ ist die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$, ${}n\in \mathbb {N}$, beschränkt.
   3. Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$, ${}j=1,\ldots ,m$, beschränkt ist.
   4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner oder gleich ${}1$ und die Eigenwerte mit Betrag ${}1$ sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
   5. Für eine beschreibende Matrix ${}M$ von ${}\varphi$, aufgefasst über ${}{\mathbb {C} }$, sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

      ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$

      mit ${}\vert {\lambda }\vert <1$ oder gleich ${}(\lambda )$ mit ${}\vert {\lambda }\vert =1$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein normierter ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und ${}E$ ein affiner Raum über ${}V$. Zeige, dass ${}E$ durch

${}d(P,Q):=\Vert {\overrightarrow {PQ}}\Vert \,$

zu einem metrischen Raum wird.

Lösung

1. Es ist ${}d{\left(P,Q\right)}=\Vert {\overrightarrow {PQ}}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}{\overrightarrow {PQ}}=0$, also ${}P=Q$ ist.
2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}d{\left(P,Q\right)}&=\Vert {\overrightarrow {PQ}}\Vert \\&=\Vert {-{\overrightarrow {QP}}}\Vert \\&=\vert {-1}\vert \cdot \Vert {\overrightarrow {QP}}\Vert \\&=d{\left(Q,P\right)}.\end{aligned}}$

3. Für einen beliebigen Punkt ${}R\in E$ ist nach der Definition einer Norm

   ${}{\begin{aligned}d{\left(P,Q\right)}&=\Vert {\overrightarrow {QP}}\Vert \\&=\Vert {{\overrightarrow {QR}}+{\overrightarrow {RP}}}\Vert \\&\leq \Vert {\overrightarrow {QR}}\Vert +\Vert {\overrightarrow {RP}}\Vert \\&=d{\left(Q,R\right)}+d{\left(R,P\right)}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

an, deren Ordnung ${}2$ ist und die keine Isometrie ist.

Lösung

Wir betrachten

${}M={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}\,.$

Es ist

${}M^{2}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,$

die Ordnung ist also ${}2$. Es liegt keine Isometrie vor, da der erste Standardvektor ${}e_{1}$ auf ${}2e_{2}$, also auf einen Vektor der Länge ${}2$ abgebildet wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\alpha _{n}$ der Winkel zwischen dem ersten Standardvektor ${}e_{1}$ und dem Vektor ${}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}e_{i}$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Bestimme den Grenzwert

$\lim _{n\rightarrow \infty }\alpha _{n}.$

Lösung

Es ist

${}\left\langle e_{1},v_{n}\right\rangle =1\,$

und

${}\Vert {v_{n}}\Vert ={\sqrt {n}}\,.$

Somit ist

${}{\frac {\left\langle e_{1},v_{n}\right\rangle }{\Vert {e_{1}}\Vert \cdot \Vert {v_{n}}\Vert }}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\,.$

Für ${}n\rightarrow \infty$ konvergiert dies gegen ${}0$. Da der Arkuskosinus stetig ist, konvergiert

${}\alpha _{n}=\arccos {\frac {\left\langle e_{1},v_{n}\right\rangle }{\Vert {e_{1}}\Vert \cdot \Vert {v_{n}}\Vert }}=\arccos {\frac {1}{\sqrt {n}}}\,$

gegen

${}\arccos 0={\frac {\pi }{2}}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$, wobei ${}K_{1}$ den Mittelpunkt ${}(3,4)$ und den Radius ${}6$ und ${}K_{2}$ den Mittelpunkt ${}(-8,1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.

Lösung

Die Kreisgleichungen der beiden Kreise sind

${}(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=x^{2}-6x+y^{2}-8y+25=36\,$

und

${}(x+8)^{2}+(y-1)^{2}=x^{2}+16x+y^{2}-2y+65=49\,.$

Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt

${}22x+6y+40=13\,.$

Also ist

${}y={\frac {-22x-27}{6}}\,.$

Dies setzen wir in die erste Kreisgleichung ein und erhalten

${}{\begin{aligned}x^{2}-6x+{\left({\frac {-22x-27}{6}}\right)}^{2}-8{\frac {-22x-27}{6}}-11&=x^{2}+{\frac {121}{9}}x^{2}-6x+33x+{\frac {81}{4}}+{\frac {88}{3}}x+36-11\\&={\frac {130}{9}}x^{2}+{\frac {169}{3}}x+{\frac {181}{4}}\\&=0.\end{aligned}}$

Nach der Lösungsformel für eine quadratische Gleichung ist

${}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {-{\frac {169}{3}}\pm {\sqrt {{\frac {28561}{9}}-4\cdot {\frac {130}{9}}\cdot {\frac {181}{4}}}}}{\frac {260}{9}}}\\&={\frac {-169\pm {\sqrt {28561-130\cdot 181}}}{\frac {260}{3}}}\\&={\frac {-3\cdot 169\pm 3{\sqrt {28561-23530}}}{260}}\\&={\frac {-507\pm 3{\sqrt {5031}}}{260}}\\&={\frac {-507\pm 9{\sqrt {559}}}{260}}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}{\begin{aligned}y_{1}&={\frac {-22x_{1}-27}{6}}\\&={\frac {-22{\frac {-507+9{\sqrt {559}}}{260}}-27}{6}}\\&=-11{\frac {-169+3{\sqrt {559}}}{260}}-{\frac {9}{2}}\\&=-{\frac {33{\sqrt {559}}}{260}}+{\frac {11\cdot 13}{20}}-{\frac {9}{2}}\\&=-{\frac {33{\sqrt {559}}}{260}}+{\frac {53}{20}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}y_{2}&={\frac {-22x_{2}-27}{6}}\\&={\frac {-22{\frac {-507-9{\sqrt {559}}}{260}}-27}{6}}\\&=-11{\frac {-169-3{\sqrt {559}}}{260}}-{\frac {9}{2}}\\&={\frac {33{\sqrt {559}}}{260}}+{\frac {11\cdot 13}{20}}-{\frac {9}{2}}\\&={\frac {33{\sqrt {559}}}{260}}+{\frac {53}{20}}.\end{aligned}}$

Die Schnittpunkte sind also

$\left({\frac {-507+9{\sqrt {559}}}{260}},\,-{\frac {33{\sqrt {559}}}{260}}+{\frac {53}{20}}\right)$

und

$\left({\frac {-507-9{\sqrt {559}}}{260}},\,{\frac {33{\sqrt {559}}}{260}}+{\frac {53}{20}}\right).$

Aufgabe (2 Punkte)

Diskutiere, ob es sinnvoll ist, die Ecken eines Dreiecks in der Ebene immer gleichermaßen gegen den Uhrzeigersinn mit ${}A,B,C$ zu bezeichnen, insbesondere unter Berücksichtigung des Bildes rechts.

Lösung Dreieck/Orientierte Notation/Bild/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Kathetensatz vektoriell.

Lösung

Wir setzen ${}v=C-A$ und ${}w=B-C$. Der Verbindungsvektor von ${}A$ nach ${}B$ ist dann gleich ${}v+w$. Wir setzen den Höhenfußpunkt als

${}D=A+\lambda (v+w)\,$

mit einem ${}\lambda \in \mathbb {R}$ und den Richtungsvektor der Höhe als

${}h=C-D=A+v-A-\lambda (v+w)=v-\lambda (v+w)\,$

an. Die Orthogonalitätsbedingung für die Höhe führt auf

${}{\begin{aligned}0&=\left\langle v-\lambda (v+w),v+w\right\rangle \\&={\left(1-\lambda \right)}\left\langle v,v\right\rangle -\lambda \left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -\lambda {\left(\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \right)}\end{aligned}}$

und somit ist

${}\lambda ={\frac {\left\langle v,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle }}\,.$

Daher ist

${}{\begin{aligned}d(A,D)\cdot d(A,B)&=\lambda \Vert {v+w}\Vert \cdot \Vert {v+w}\Vert \\&=\lambda \left\langle v+w,v+w\right\rangle \\&=\lambda {\left(\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \right)}\\&=\left\langle v,v\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}\\&=d(A,C)^{2}.\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten die Züge des Springers im Schach auf einem ${}4\times 4$-Brett. Ist es möglich, durch eine Zugfolge mit dem Springer alle Felder genau einmal zu treffen?

Lösung

Dies ist nicht möglich. Von jedem Eckpunkt aus gelangt man mit einem Pferdsprung nur in eines der inneren vier Felder. Nehmen wir an, es gibt eine solche Durchlaufungskette. Es können maximal zwei Ecken am Anfang oder am Ende dieser Durchlaufungskette stehen. Es gibt also mindestens zwei Ecken, die sowohl einen Vorgänger als auch einen Nachfolger haben. Wenn diese benachbart sind, so sind dadurch schon alle inneren Felder abgedeckt und für die beiden anderen Ecken gibt es keine Anschlussmöglichkeit. Wenn sie gegenüber liegen, so liegt ein Viererzyklus vor, und eben keine vollständige Kette.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H.$

Lösung

Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so darf auf jedes Element ${}h\in H$ höchstens ein Element aus ${}G$ gehen. Da ${}e_{G}$ auf ${}e_{H}$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf ${}e_{H}$ gehen, d.h. ${}\ker \varphi =\{e_{G}\}$. Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass ${}g,{\tilde {g}}\in G$ beide auf ${}h\in H$ geschickt werden. Dann ist

${}\varphi {\left(g{\tilde {g}}^{-1}\right)}=\varphi (g)\varphi ({\tilde {g}})^{-1}=hh^{-1}=e_{H}\,$

und damit ist ${}g{\tilde {g}}^{-1}\in \ker \varphi$, also ${}g{\tilde {g}}^{-1}=e_{G}$ nach Voraussetzung und damit ${}g={\tilde {g}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von ${}g$ mit dem minimalen ${}d\in \mathbb {N} _{+}$ übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$

gibt, in dessen Bild das Element ${}g$ liegt.

Lösung

Wenn ${}g$ im Bild eines Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$

liegt, so liegt ${}g$ insbesondere in einer Untergruppe einer Ordnung ${}\leq d$ und nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung von ${}g$ ebenfalls ${}\leq d$. Die Ordnung ist also höchstens gleich dem Minimum der natürlichen Zahlen ${}d$, für die es einen solchen Gruppenhomomorphismus gibt.

Es sei umgekehrt ${}d$ die Ordnung von ${}g$. Der kanonische Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n},$

besitzt den Kern ${}\mathbb {Z} d$. Aufgrund des Satzes vom induzierten Homomorphismus induziert dieser Gruppenhomomorphismus einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$

und ${}g$ gehört dabei zum Bild.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum. Zeige, dass die Äquivalenz von Normen auf ${}V$ eine Äquivalenzrelation ist. Auf welcher Menge „lebt“ diese Äquivalenzrelation? Wie viele Äquivalenzklassen gibt es, wenn ${}V$ endlichdimensional ist?

Lösung Norm/Äquivalent/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

${}M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$

eine reelle quadratische Matrix mit nichtnegativen Einträgen. Zeige, dass ${}M$ genau dann spaltenstochastisch ist, wenn ${}M$ für Vektoren mit nichtnegativen Einträgen isometrisch bezüglich der Summennorm ist, wenn also

${}\Vert {Mv}\Vert _{\rm {sum}}=\Vert {v}\Vert _{\rm {sum}}\,$

für alle ${}v\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{n}$ gilt.

Lösung

Es sei ${}M$ eine spaltenstochastische Matrix und

${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

ein Vektor mit nichtnegativen Einträgen. Dann ist

${}{\begin{aligned}\Vert {Mv}\Vert _{\rm {sum}}&=\sum _{i=1}^{n}(Mv)_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}v_{j}\\&=\Vert {v}\Vert _{\rm {sum}}.\end{aligned}}$

Wenn umgekehrt die angegebene isometrische Eigenschaft gilt, so gilt insbesondere für die Bilder der Standardvektoren, dass ihre Summennorm gleich ${}1$ sein muss. Diese Bilder stehen in der entsprechenden Spalte der Matrix, alle Spaltensummen haben also den Wert ${}1$.