Kurs:Lineare Algebra/Teil II/19/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	4	0	1	2	9	4	2	0	6	0	0	0	38

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Standardskalarprodukt auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$.
2. Eine eigentliche Isometrie

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem euklidischen Vektorraum ${}V$.

3. Ein Minkowski-Raum.
4. Ein Normalteiler ${}N$ in einer Gruppe ${}G$.
5. Eine beschränkte Teilmenge ${}T\subseteq M$ in einem metrischen Raum ${}(M,d)$.
6. Die aus einer ${}K$- linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   durch einen Körperwechsel ${}K\subseteq L$ gewonnene ${}L$-lineare Abbildung.

Lösung

1. Das Standardskalarprodukt auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist durch

   ${}\left\langle u,v\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\,$

   gegeben.

2. Eine Isometrie heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich ${}1$ ist.
3. Ein reeller Vektorraum der Dimension ${}n$ mit einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(n-1,1)$ heißt Minkowski-Raum.
4. Ein Untergruppe ${}H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn

   ${}xH=Hx\,$

   für alle ${}x\in G$ ist.

5. Die Teilmenge ${}T$ heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl ${}b$ mit

   $d{\left(x,y\right)}\leq b{\text{ für alle }}x,y\in T$

   gibt.

6. Die Abbildung

   $\varphi _{L}\colon V_{L}=L\otimes _{K}V\longrightarrow W_{L}=L\otimes _{K}W,\,b\otimes v\longmapsto b\otimes \varphi (v),$

   heißt die durch Körperwechsel gewonnene lineare Abbildung.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Kosinussatz.
2. Der Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen.
3. Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.

Lösung

1. In einem Dreieck ${}(A,B,C)$ mit den Seitenlängen ${}a,b,c$ und dem Winkel ${}\gamma$ an ${}C$ gilt

   ${}c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,.$

2. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann gibt es eine Orthonormalbasis von ${}V$ aus Eigenvektoren

   zu ${}\varphi$.
3. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

   1. ${}\varphi$ ist stabil.
   2. Zu jedem ${}v\in V$ ist die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$, ${}n\in \mathbb {N}$, beschränkt.
   3. Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$, ${}j=1,\ldots ,m$, beschränkt ist.
   4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner oder gleich ${}1$ und die Eigenwerte mit Betrag ${}1$ sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
   5. Für eine beschreibende Matrix ${}M$ von ${}\varphi$, aufgefasst über ${}{\mathbb {C} }$, sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

      ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$

      mit ${}\vert {\lambda }\vert <1$ oder gleich ${}(\lambda )$ mit ${}\vert {\lambda }\vert =1$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$. Zeige, dass die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,$

gilt.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}&=\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,v\right\rangle \\&=2\left\langle v,w\right\rangle .\end{aligned}}$

Division durch ${}2$ ergibt die Behauptung.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Gruppe der räumlichen Drehungen nicht kommutativ ist.

Lösung

Die beiden Matrizen ${}{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$ sind orthogonal und besitzen Determinante ${}1$, sie beschreiben Raumdrehungen. Wegen

${}{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,$

ist die Gruppe der Raumdrehungen nicht kommutativ.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Höhensatz mit Hilfe des Kathetensatzes.

Lösung

Es sei ${}A,B,C$ das rechtwinklige Dreieck mit dem rechten Winkel an ${}C$ und es sei ${}D$ der Höhenfußpunkt von ${}C$ auf der durch ${}A$ und ${}B$ gegebenen Geraden. Wegen der Rechtwinkligkeit liegt dieser zwischen ${}A$ und ${}B$, d.h. es ist

${}d(A,B)=d(A,D)+d(D,B)\,.$

Nach dem Satz des Pythagoras (angewendet auf das rechtwinklige Dreieck $A,C,D$ mit rechtem Winkel an ${}D$) und nach dem Kathetensatz ist

${}{\begin{aligned}d(D,C)^{2}&=d(A,C)^{2}-d(A,D)^{2}\\&=d(A,D)\cdot d(A,B)-d(A,D)^{2}\\&=d(A,D)\cdot (d(A,B)-d(A,D))\\&=d(A,D)\cdot d(D,B),\end{aligned}}$

und dies ist die Aussage des Höhensatzes.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass für eine hermitesche Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum ${}V$ die Werte ${}\left\langle v,v\right\rangle$ zu ${}v\in V$ stets reell sind.

Lösung

Für eine hermitesche Form gilt

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,.$

Somit ist speziell

${}\left\langle v,v\right\rangle ={\overline {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$

und damit ist ${}\left\langle v,v\right\rangle$ reell.

Aufgabe (2 Punkte)

Eine komplexe Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ definiert einen Endomorphismus ${}\mu _{z}\colon x\rightarrow zx$. Skizziere in der Ebene ${}{\mathbb {C} }$ diejenigen komplexen Zahlen mit der Eigenschaft, dass ${}\mu _{z}$ eine Isometrie, selbstadjungiert, eine selbstadjungierte Isometrie bzw. normal ist.

Lösung Komplexe Zahl/Streckung/Isometrie/Selbstadjungiert/Normal/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (9 (2+4+3) Punkte)

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine irrationale Zahl und sei

${}G={\left\{a+bu\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.$

a) Zeige, dass ${}G$ eine Untergruppe von ${}(\mathbb {R} ,0,+)$ ist.

b) Zeige, dass es kein Element ${}v\in \mathbb {R}$ mit

${}G=\mathbb {Z} v={\left\{cv\mid c\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

gibt.

c) Zeige, dass es in ${}G$ kein positives minimales Element gibt.

Lösung

a) Das Nullelement ergibt sich für ${}a=b=0$, wegen

${}(a+bu)+(c+du)=(a+c)+(b+d)u\,$

ist ${}G$ unter der Addition abgeschlossen und wegen

${}-(a+bu)=-a-bu\,$

gehören auch die Negativen dazu.

b) Nehmen wir

${}G=\mathbb {Z} v\,$

mit einem ${}v\in \mathbb {R}$ an. Dann ist einerseits

${}v=a_{0}+b_{0}u\,$

mit gewissen ${}a_{0},b_{0}\in \mathbb {Z}$ und andererseits

${}u=rv=r(a_{0}+b_{0}u)\,$

mit einem ${}r\in \mathbb {Z}$, ${}r\neq 0$. Daraus folgt

${}{\left(1-rb_{0}\right)}u=ra_{0}\,$

Aus der Irrationalität von ${}u$ ergibt sich

${}1-rb_{0}=0=a_{0}\,,$

also

${}r=b_{0}=\pm 1\,.$

Dann ist

${}v=\pm u\,,$

also

${}G=\mathbb {Z} u\,.$

Dann wäre

${}1=cu\,$

mit einem ${}c\in \mathbb {Z}$ was wegen der Irrationalität von ${}u$ nicht möglich ist.

c) Nehmen wir an, es sei ${}w>0$ das minimale positive Element aus ${}G$. Wir behaupten, dass dann

${}G=\mathbb {Z} w\,$

wäre, was nach Teil (2) nicht sein kann. Es sei also

${}g=a+bv>0\,$

positiv (bei ${}g$ negativ geht man zum Negativen davon über). Dann ist nach Voraussetzung

${}g\geq w\,.$

Wir betrachten ${}g-w,g-2w,g-3w,\ldots$ bis wir zu einem ${}g-kw$ mit

${}0\leq g-kw<w\,$

angelangen. Wegen ${}g-kw\in G$ muss

${}0=g-kw\,$

sein, also ${}g\in \mathbb {Z} w$.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H.$

Lösung

Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so darf auf jedes Element ${}h\in H$ höchstens ein Element aus ${}G$ gehen. Da ${}e_{G}$ auf ${}e_{H}$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf ${}e_{H}$ gehen, d.h. ${}\ker \varphi =\{e_{G}\}$. Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass ${}g,{\tilde {g}}\in G$ beide auf ${}h\in H$ geschickt werden. Dann ist

${}\varphi {\left(g{\tilde {g}}^{-1}\right)}=\varphi (g)\varphi ({\tilde {g}})^{-1}=hh^{-1}=e_{H}\,$

und damit ist ${}g{\tilde {g}}^{-1}\in \operatorname {kern} \varphi$, also ${}g{\tilde {g}}^{-1}=e_{G}$ nach Voraussetzung und damit ${}g={\tilde {g}}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und sei ${}f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

${}x\sim y\,,$

wenn

${}f(x)=f(y)\,,$

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert wird.

Lösung

Da der Funktionswert ${}f(x)$ eindeutig bestimmt und die Gleichheit reflexiv ist, gilt offenbar ${}x\sim x$. Wenn ${}x\sim y$ ist, so bedeutet das ${}f(x)=f(y)$ und wegen der Symmetrie der Gleichheit folgt ${}f(y)=f(x)$, was wiederum ${}y\sim x$ bedeutet. Wenn ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$ ist, so bedeutet dies einerseits ${}f(x)=f(y)$ und andererseits ${}f(y)=f(z)$. Wegen der Transitivität der Gleichheit folgt ${}f(x)=f(z)$, was ${}x\sim z$ bedeutet.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ die eigentliche Symmetriegruppe des achsenparallelen Würfels. Man gebe explizite (in Matrixbeschreibung) innere Automorphismen der Würfelgruppe an, die die folgenden Isotropiegruppen zu Achsen ineinander überführen. Welche Matrizen entsprechen dabei welchen Matrizen?

1. Die Isotropiegruppe zur ${}x$-Achse und zur ${}z$-Achse.
2. Die Isotropiegruppe zur Raumdiagonalen ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$ und zur Raumdiagonalen ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}$.
3. Die Isotropiegruppe zur Kantenmittelpunktsachse ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$ und zur Kantenmittelpunktsachse ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$.

Lösung Eigentliche Symmetriegruppe/Würfel/Isotropiegruppe/Innere Automorphismen/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung