Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 16

Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ mit Dualraum ${}{V}^{*}$ die Auswertungsabbildung

$V\times {V}^{*}\longrightarrow K,\,(v,f)\longmapsto f(v),$

bilinear ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}1+3{\mathrm {i} }&5-{\mathrm {i} }\\3-2{\mathrm {i} }&4+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}1&3&5\\2&1&3\\8&7&4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Wir betrachten die Matrix

${\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}}.$

1. Berechne die Determinante von ${}M$.
2. Bestimme die Determinante zu jeder Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ eine Zeile und eine Spalte weglässt.

Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass bei einer oberen Dreiecksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.

Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass bei einer unteren Dreiecksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ multilinear und alternierend ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Multiplikation

$K\times K=K^{2}\longrightarrow K,\,(a,b)\longmapsto a\cdot b,$

multilinear ist. Ist sie alternierend?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Abbildung

$K^{n}\times K^{n}\longrightarrow K,\,({\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}})\longmapsto (u_{1},\ldots ,u_{n})\circ {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}},$

multilinear ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}I$ und ${}J$ endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)},\,(f,g)\longmapsto f\otimes g,$

mit

${}(f\otimes g)(i,j):=f(i)\cdot g(j)\,$

multilinear ist.

Aufgabe

Überprüfe die Multilinearität und die Eigenschaft, alternierend zu sein, direkt für die Determinante von ${}2\times 2$- Matrizen.

Aufgabe

Überprüfe die Multilinearität und die Eigenschaft, alternierend zu sein, direkt für die Determinante von ${}3\times 3$- Matrizen.

Aufgabe

Zeige, dass für jede Elementarmatrix ${}E$ die Beziehung

${}\det E=\det {E^{\text{tr}}}\,$

gilt.

Aufgabe *

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren ${}(x_{1},y_{1})$ und ${}(x_{2},y_{2})$ die Determinante der durch die Vektoren definierten ${}2\times 2$-Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.

${}\,$

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine ${}2\times 2$- Matrix. Zeige

${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}=1+\det \left(M\right)-\det \left(E_{2}-M\right)\,.$

Aufgabe

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ und

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto zw,$

die zugehörige Multiplikation. Bestimme die Determinante dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung ${}\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ auffasst.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei

$\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

eine multilineare Abbildung und es seien ${}v_{1j},\ldots ,v_{m_{j}j}\in V_{j}$ und ${}a_{ij}\in K$. Zeige

${}\Phi {\left(\sum _{i=1}^{m_{1}}a_{i1}v_{i1},\ldots ,\sum _{i=1}^{m_{n}}a_{in}v_{in}\right)}=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{n})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,m_{n}\}}a_{i_{1}1}\cdots a_{i_{n}n}\Phi {\left(v_{i_{1}1},\ldots ,v_{i_{n}n}\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien ${}v_{i_{j}}$, ${}i_{j}\in I_{j}$, Erzeugendensysteme von ${}V_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$. Zeige, dass eine multilineare Abbildung

$\triangle \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

durch

$\triangle (v_{i_{1}},\ldots ,v_{i_{n}})$

festgelegt ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\triangle \colon V\times V\longrightarrow K$

eine multilineare und alternierende Abbildung. Es seien ${}u,v,w\in V$. Ziehe in

$\triangle {\begin{pmatrix}u+2v\\v+3w\end{pmatrix}}$

Summen und Skalare nach außen und vereinfache.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {Mat} _{2}(K)\longrightarrow K,\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad+cb,$

multilinear ist, aber nicht alternierend.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Ist die Abbildung

$\operatorname {Mat} _{2}(K)\longrightarrow K,\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ac-bd,$

multilinear in den Zeilen? In den Spalten?

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

für beliebiges ${}k\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und beliebige ${}n-1$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$, für ${}u\in K^{n}$ und für ${}s\in K$ die Gleichheit

${}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine quadratische Matrix, die man als

${}M={\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}\,$

mit quadratischen Matrizen ${}A$ und ${}D$ schreiben kann. Zeige

${}\det M=\det A\cdot \det D\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine quadratische Matrix, die man als

${}M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\,$

mit quadratischen Matrizen ${}A,B,C$ und ${}D$ schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung

${}\det M=\det A\cdot \det D-\det B\cdot \det C\,$

im Allgemeinen nicht gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Untersuche die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\times V\longrightarrow W,\,(\varphi ,v)\longmapsto \varphi (v),$

auf Multilinearität.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ und es sei

$\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

eine multilineare Abbildung. Zeige, dass die Menge

${\left\{\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n}\right)\in V_{1}\times \cdots \times V_{n}\mid \Phi \left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n}\right)=0\right\}}$

im Allgemeinen kein Untervektorraum von ${}V_{1}\times \cdots \times V_{n}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Zeige, dass die Menge aller multilinearen Abbildungen, die mit ${}\operatorname {Mult} _{K}{\left(V_{1},\ldots ,V_{n},W\right)}$ bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge aller alternierenden Abbildungen, die mit ${}\operatorname {Alt} _{K}^{n}{\left(V,W\right)}$ bezeichnet wird, ein Untervektorraum von ${}\operatorname {Mult} _{K}{\left(V,\ldots ,V,W\right)}$ (wobei der Vektorraum ${}V$ ${}n$-fach auftritt) ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung und es sei

$\triangle \colon W^{m}\longrightarrow K$

eine multilineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die verknüpfte Abbildung

$V^{m}\longrightarrow K,\,(v_{1},\ldots ,v_{m})\longmapsto \triangle \left(\varphi (v_{1}),\,\ldots ,\,\varphi (v_{m})\right),$

multilinear ist. Zeige ebenfalls, dass wenn ${}\triangle$ alternierend ist, dass dann auch ${}\triangle \circ \varphi ^{n}$ alternierend ist, und dass hiervon bei ${}\varphi$ bijektiv auch die Umkehrung gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ und ${}Z$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

lineare Abbildungen und sei

$\pi \colon W_{1}\times \cdots \times W_{n}\longrightarrow Z$

eine multilineare Abbildung. Zeige, dass die Abbildung

$\pi \circ (\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n})\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow Z,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto \pi (\varphi _{1}(v_{1}),\ldots ,\varphi _{n}(v_{n})),$

ebenfalls multilinear ist.

Aufgabe

Berechne zur (komplexen) Matrix

${}M={\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }&3\\0&1-{\mathrm {i} }&-1+3{\mathrm {i} }\\4-{\mathrm {i} }&0&2\end{pmatrix}}\,$

die Determinante und die inverse Matrix.

Aufgabe *

Bestimme, für welche ${}x\in {\mathbb {C} }$ die Matrix

${\begin{pmatrix}x^{2}+x&-x\\-x^{3}+2x^{2}+5x-1&x^{2}-x\end{pmatrix}}$

invertierbar ist.

Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie

Aufgabe

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge

$1,\,11,\,21,\,1211,\,111221,\,312211,\,...$

zugrunde?

(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(\mathbb {Q} )$. Zeige, dass es egal ist, ob man die Determinante in ${}\mathbb {Q}$, in ${}\mathbb {R}$ oder in ${}{\mathbb {C} }$ ausrechnet.

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Determinanten der Elementarmatrizen.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }&3-2{\mathrm {i} }&5\\{\mathrm {i} }&1&3-{\mathrm {i} }\\2{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }&2+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix

$A={\begin{pmatrix}2&1&0&-2\\1&3&3&-1\\3&2&4&-3\\2&-2&2&3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\triangle \colon V\times V\times V\longrightarrow K$

eine multilineare und alternierende Abbildung. Es seien ${}u,v,w\in V$. Ziehe in

$\triangle {\begin{pmatrix}u+v+w\\2u+3z\\4w-5z\end{pmatrix}}$

Summen und Skalare nach außen und vereinfache.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow K$

(${}i=1,\ldots ,n$), lineare Abbildungen. Zeige, dass dann die Abbildung

$\varphi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow K,\,{\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}\longmapsto \varphi _{1}(v_{1}){\cdots }\varphi _{n}(v_{n}),$

multilinear ist.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}T={\left\{M\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)\mid \det M=0\right\}}\subset \operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)=K^{9}\,$

die Menge aller ${}3\times 3$-Matrizen mit Determinante ${}0$.

a) Zeige, dass ${}T$ kein Untervektorraum von ${}\operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)$ ist.

b) Zeige, dass ${}T$ einen Untervektorraum von ${}\operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)$ der Dimension ${}6$ enthält.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,$

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 16.33 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).

1. Ist ${}f$ wachsend?
2. Ist ${}f$ surjektiv?
3. Ist ${}f$ injektiv?
4. Besitzt ${}f$ einen Fixpunkt?

Die Aufgabe zum Aufgeben

Lösungen zu der folgenden Aufgabe direkt an den Dozenten, bis Ende des Semesters.

Aufgabe (10 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}T={\left\{M\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)\mid \det M=0\right\}}\subset \operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)=K^{9}\,$

die Menge aller ${}3\times 3$-Matrizen mit Determinante ${}0$. Enthält ${}T$ einen Untervektorraum von ${}\operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)$ der Dimension ${}7$?