Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 22

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte, die Eigenräume und die geometrischen Vielfachheiten zur Matrix

${\begin{pmatrix}2&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\0&1&\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\\vdots &\ddots &3&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &1&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &3&0\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}.$

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme den Eigenraum und die geometrische Vielfachheit zu ${}-2$ zur Matrix

${\begin{pmatrix}2&1&3\\5&0&7\\9&3&8\end{pmatrix}}.$

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es maximal ${}\dim _{K}{\left(V\right)}$ viele Eigenwerte zu ${}\varphi$ gibt.

Aufgabe

Man gebe zu einem ${}a\in K$ und einem ${}m$, ${}1\leq m\leq n$, eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$ an, deren einziger Eigenwert ${}a$ mit geometrischer Vielfachheit ${}m$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ eine Matrix mit ${}n$ (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von ${}M$ das Produkt der Eigenwerte ist.

Aufgabe

Es sei

${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)\,$

eine Matrix mit ${}n$ (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Spur von ${}M$ die Summe der Eigenwerte ist.

Aufgabe *

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

über ${}\mathbb {Q}$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}\lambda \in K$. Zeige, dass der Exponent, mit dem ${}X-\lambda$ im Minimalpolynom zu ${}\varphi$ vorkommt, sowohl kleiner als auch größer als die geometrische Vielfachheit von ${}\lambda$ sein kann.

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}2&3\\0&5\end{pmatrix}}$

über ${}\mathbb {R}$ diagonalisierbar ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren. Führe den Basiswechsel explizit durch, der zu einer beschreibenden Diagonalmatrix führt.

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}6&1&0\\0&2&4\\0&0&7\end{pmatrix}}$

über ${}\mathbb {R}$ diagonalisierbar ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren. Führe den Basiswechsel explizit durch, der zu einer beschreibenden Diagonalmatrix führt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine invertierbare Matrix über ${}K$. Zeige, dass ${}M$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn die inverse Matrix ${}M^{-1}$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe

Bestimme, welche Elementarmatrizen diagonalisierbar sind.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine obere Dreiecksmatrix, wobei die Diagonaleinträge alle konstant gleich ${}c$ seien. Zeige, dass ${}M$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn es schon eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine Projektion diagonalisierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein diagonalisierbarer Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass ${}P(\varphi )$ ebenfalls diagonalisierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine diagonalisierbare Matrix. Zeige, dass das Minimalpolynom von ${}M$ die Form

$(X-\lambda _{1})\cdots (X-\lambda _{k})$

mit verschiedenen ${}\lambda _{i}$ besitzt.

Die Umkehrung der vorstehenden Aufgabe gilt ebenfalls, siehe Aufgabe 24.7.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper ${}K$ und

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$

lineare Abbildungen und es sei

$\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\times \cdots \times V_{n}$

die Produktabbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn dies für alle ${}\varphi _{i}$ gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und

${\varphi }^{*}\colon {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$

die duale Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn ${}{\varphi }^{*}$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

über ${}{\mathbb {C} }$ diagonalisierbar ist, nicht aber über ${}\mathbb {R}$. Führe die Diagonalisierung über ${}{\mathbb {C} }$ durch.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

über dem

Körper mit zwei Elementen ${}{\mathbb {F} }_{2}$ nicht diagonalisierbar ist.