Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 6/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Zeige, dass die Menge der „symmetrischen“ -Matrizen über einem Körper , also Matrizen der Form
die die Bedingung
erfüllen, mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser Skalarmultiplikation einen - Vektorraum bildet.
- Übungsaufgaben
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Zeige, dass auch das Produkt
ein -Vektorraum ist.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es seien und . Zeige
Die folgenden vier Aufgaben zeigen, dass keines der Axiome für die Skalarmultiplikation eines Vektorraumes überflüssig ist.
Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung
derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer
erfüllt.
Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung
derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer
erfüllt.
Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung
derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer
erfüllt.
Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung
derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer
erfüllt.
Überprüfe, ob die folgenden Teilmengen des Untervektorräume sind:
- ,
- ,
- ,
- .
Es sei ein Körper und
ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?
Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen Untervektorraum einschränken lässt und dass dieser mit den von geerbten Strukturen selbst ein Vektorraum ist.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es seien Untervektorräume. Zeige, dass die Vereinigung nur dann ein Untervektorraum ist, wenn oder gilt.
Es sei die Menge aller reellen -Matrizen
die die Bedingung
erfüllen. Zeige, dass kein Untervektorraum im Raum aller -Matrizen ist.
Es sei ein Körper und eine Indexmenge. Zeige, dass
mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein -Vektorraum ist.
Es sei ein Körper, und seien zwei Indexmengen. Zeige, dass dann in natürlicher Weise ein Untervektorraum von ist.
Es sei ein Körper, sei eine Indexmenge, und der zugehörige Vektorraum.
- Zeige, dass
ein Untervektorraum von ist.
- Zu jedem
sei
durch
gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element eindeutig als Linearkombination der Familie , , darstellen lässt.
Die folgenden vier Aufgaben verwenden Begriffe aus der Analysis.
Wir betrachten die Menge
die mit der stellenweisen Addition von Funktionen eine kommutative Gruppe ist. Auf dieser Menge bildet die Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine assoziative Verknüpfung mit der Identität als neutralem Element.
- Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
gilt.
- Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
nicht gilt.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei , , eine Familie von Vektoren in und ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie
ein Erzeugendensystem von ist und dass sich als Linearkombination der , , darstellen lässt. Zeige, dass dann schon , , ein Erzeugendensystem von ist.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.
- Sei
, ,
eine Familie von
Untervektorräumen
von . Dann ist auch der Durchschnitt
ein Untervektorraum.
- Zu einer Familie , , von Elementen in ist der erzeugte Unterraum ein Unterraum.
- Die Familie
, ,
ist genau dann ein Erzeugendensystem von , wenn
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten (dabei sei und ).
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist .
- Aus und folgt .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für einen Vektorraum und von drei Teilmengen in an, die jeweils zwei der Unterraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Drücke in den Vektor
als Linearkombination der Vektoren
aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und eine Menge mit einer Verknüpfung
und einer Abbildung
Es sei
eine surjektive Abbildung mit
für alle und . Zeige, dass ein -Vektorraum ist.