Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 43/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Multipliziere in ${}\mathbb {Z} /(5)[x,y]$ die beiden Polynome

$x^{4}+2x^{2}y^{2}-xy^{3}+2y^{3}{\text{ und }}x^{4}y+4x^{2}y+3xy^{2}-x^{2}y^{2}+2y^{2}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Multipliziere in ${}\mathbb {Q} [x,y,z]$ die beiden Polynome

$x^{5}+3x^{2}y^{2}-xyz^{3}{\text{ und }}2x^{3}yz+z^{2}+5xy^{2}z-x^{2}y.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass im Polynomring ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ das Ideal ${}(X,Y)$ kein Hauptideal ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.

1. ${}x^{2}-y^{2}-1=0$,
2. ${}x^{2}+xy+y^{2}=0$,
3. ${}x^{2}+y^{2}+1=0$,
4. ${}x^{2}+y^{2}=0$,
5. ${}x^{2}+y^{3}=0$,
6. ${}x^{3}-y^{5}=0$,
7. ${}x^{2}-x^{3}=0$,
8. ${}x^{3}+y^{3}=1$,
9. ${}x^{4}+y^{4}=1$,
10. ${}-5+3x+4x^{2}+x^{3}-y^{2}=1$.

In den folgenden Aufgaben ist Standardform im Sinne von Satz 43.9 zu verstehen. Es muss die neue Basis, die Variablentransformation (Koordinatentransformation) und das vereinfachte quadratische Polynom angegeben werden.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bringe das reelle quadratische Polynom

$X^{2}-4Y^{2}+6XY-3X+Y+2$

auf eine Standardgestalt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bringe das reelle quadratische Polynom

$5X^{2}-2Y^{2}-6XY-5X-3Y-7$

auf eine Standardgestalt.

In der folgenden Aufgabe geht es um zwei Definitionen für eine Ellipse.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}Q_{1},Q_{2}\in \mathbb {R} ^{2}$ zwei Punkte, ${}c>0$ und es sei

${}E={\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid d(P,Q_{1})+d(P,Q_{2})=c\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}E$ die Nullstellenmenge einer quadratischen Gleichung in zwei Variablen ist. Wie sieht die Standardgestalt aus? Was sind die Hauptachsen?

Tipp: Führe die beschriebene Situation auf den Fall zurück, wo ${}Q_{1}=(e,0)$ und ${}Q_{2}=(-e,0)$.

Unter normierter Standardgestalt verstehen wir eine quadratische Form, bei der die nichtkonstanten Koeffizienten nur den Wert ${}0,1,-1$ haben dürfen. Dies kann man durch Verzerrungen stets erreichen (wobei aber die Orthogonalität verloren geht).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik

$7x^{2}-11y^{2}+15xy.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche der rechts skizzierten Quadriken kann man (in welchem Sinne) mit weniger als drei Variablen beschreiben?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme, welche Quadriken aus Beispiel 43.12 sich als Graph und welche sich als Rotationsfläche beschreiben lassen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik

$3x^{2}+2y^{2}+2xy-2yz.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik

$x^{2}+y^{2}-2z^{2}-4xy+6xy-2yz.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum der Dimension ${}n$. Wir betrachten die Menge

${}T={\left\{v\in V\mid \left\langle v,v\right\rangle =1\right\}}\,.$

Für welche ${}n$ ist ${}T$ wegzusammenhängend, für welche zerfällt es in verschiedene Komponenten?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum der Dimension ${}n$. Wir betrachten die Menge

${}T={\left\{v\in V\mid \left\langle v,v\right\rangle =1\right\}}\,.$

Es sei ${}w$ der Beobachtervektor eines Beobachters ${}B$ und es sei ${}V_{B}$ seine Raumkomponente. Welche Gestalt besitzt ${}T\cap V_{B}$?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Das Bild der durch

$K\longrightarrow K^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right),$

definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt ${}(x,y)\in K^{2}$ genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung ${}x^{3}=y^{2}$ erfüllt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right).$

Bestimme die Punkte ${}t_{0}\in \mathbb {R}$, für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte ${}f(t)=\left(t^{2},\,t^{3}\right)$ zum Punkt ${}(1,0)$ minimal wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Kurve

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2}-1,t^{3}-t).$

a) Zeige, dass die Bildpunkte ${}(x,y)$ der Kurve die Gleichung

${}y^{2}=x^{2}+x^{3}\,$

erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ mit ${}y^{2}=x^{2}+x^{3}$ zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte ${}t_{1}$ und ${}t_{2}$ mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}C\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ das Bild unter der polynomialen Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{3}-1,\,t^{2}-1\right).$

Bestimme ein Polynom ${}F\neq 0$ in zwei Variablen derart, dass ${}C$ auf dem Nullstellengebilde zu ${}F$ liegt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}T$ der Graph der Standardparabel

${}y=x^{2}\,$

und ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die Rotationsfläche zu ${}T$ um die ${}x$-Achse.

1. Zeige, dass ${}M$ durch keine Quadrik beschrieben wird.
2. Zeige, dass ${}M$ die Nullstellenmenge eines Polynoms in drei Variablen ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\Psi$ eine hermitesche Form mit der Gramschen Matrix ${}G$ (bezüglich einer Basis). Zeige, dass die Determinante von ${}G$ reell ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\Psi$ eine hermitesche Form mit der Gramschen Matrix ${}G$ (bezüglich einer Basis). Zeige, dass das charakteristische Polynom von ${}G$ reelle Koeffizienten besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wie viele Monome vom Grad ${}d$ gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

für die Körper ${}K=\mathbb {Z} /(2)$, ${}\mathbb {Z} /(3)$, ${}\mathbb {Z} /(5)$ und ${}\mathbb {Z} /(7)$.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Bringe das reelle quadratische Polynom

$3X^{2}-5Y^{2}+7XY+4X-2Y+5$

auf eine Standardgestalt.

Aufgabe (10 (4+6) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Kegel

${}K={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=z^{2}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

und es sei ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine affine Ebene. Der Durchschnitt ${}K\cap E$ heißt Kegelschnitt.

1. Zeige, dass jeder Kegelschnitt

   ${}K\cap E\subseteq E\cong \mathbb {R} ^{2}\,$

   in geeigneten Koordinaten ${}u,v$ des ${}\mathbb {R} ^{2}$ als Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms in ${}u,v$ beschrieben werden kann.

2. Bestimme, welche der Quadriken aus Beispiel 43.8 sich als Kegelschnitte realisieren lassen.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik

$5x^{2}-4y^{2}+z^{2}-xy+3xz.$