Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 57/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Zeige, dass das charakteristische Polynom zu ${}\varphi$ mit dem charakteristischen Polynom der Tensorierung ${}\varphi _{L}$ übereinstimmt.

Allerdings können beim Übergang von ${}K$ nach ${}L$ neue Nullstellen des charakteristischen Polynoms und damit neue Eigenwerte und Eigenvektoren auftreten.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ .

a) Definiere eine ${}L$ - lineare Abbildung

L\otimes _{K}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{L}{\left(V_{L},W_{L}\right)},

die ${}c\otimes \varphi$ auf ${}c{\left(\operatorname {Id} _{L}\otimes \varphi \right)}$ abbildet.

b) Es seien die beiden Vektorräume nun endlichdimensional. Zeige, dass die Abbildung aus Teil (a) ein Isomorphismus ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und ${}W$ ein ${}L$ -Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine ${}K$ - lineare Abbildung. Zeige, dass es eine ${}L$ -lineare Abbildung

{\tilde {\varphi }}\colon V_{L}\longrightarrow W

gibt, die ${}\varphi$ fortsetzt (also auf ${}V\subseteq V_{L}$ mit ${}\varphi$ übereinstimmt).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Vereinfache in ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ den Ausdruck

e_{1}\wedge (e_{2}-4e_{3})-e_{2}\wedge (5e_{1}+3e_{2}-4e_{3})+{\left(7e_{3}\right)}\wedge e_{1}-4{\left(5e_{1}\wedge 2e_{3}\right)}+(2e_{1}-8e_{2})\wedge (2e_{1}-8e_{2}).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Vereinfache in ${}\bigwedge ^{3}\mathbb {R} ^{3}$ den Ausdruck

(e_{1}-e_{2})\wedge (e_{2}-4e_{3})\wedge (3e_{1}-5e_{2}+4e_{3})+{\left(7e_{3}\right)}\wedge {\left(e_{1}-4e_{3}\right)}\wedge {\left(5e_{3}-e_{1}\right)}-(4e_{3}-2e_{2})\wedge e_{2}\wedge (4e_{1}+3e_{2}-4e_{3}).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Vereinfache in ${}\bigwedge ^{3}\mathbb {R} ^{3}$ den Ausdruck

-7e_{1}\wedge e_{2}\wedge e_{3}+6e_{2}\wedge e_{3}\wedge e_{1}+4e_{3}\wedge e_{2}\wedge e_{1}+3e_{2}\wedge e_{1}\wedge e_{3}+5e_{3}\wedge e_{1}\wedge e_{2}-11e_{2}\wedge e_{3}\wedge e_{1}.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Zeige die Gleichheit ${}V=\bigwedge ^{1}V$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum der Dimension ${}n$ . Zeige, dass ${}\bigwedge ^{n}V$ nicht der Nullraum ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}m$ - dimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei ${}n>m$ . Zeige ${}\bigwedge ^{n}V=0$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in V^{*}$ . Zeige, dass die Abbildung

V\times \cdots \times V\longrightarrow K,\,(v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto \det(f_{i}(v_{j}))_{1\leq i,j\leq k},

multilinear und alternierend ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige folgende Aussage über das Dachprodukt: Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum der Dimension ${}n$ . Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{r}$ Vektoren in ${}V$ , die miteinander in der Beziehung

{}{\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{r}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{r}\end{pmatrix}}\,

stehen, wobei ${}M$ eine ${}r\times r$ - Matrix bezeichnet. Dann gilt in ${}\bigwedge ^{r}V$ die Beziehung

{}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{r}=(\det M)v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{r}\,.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise Satz 57.9 direkt aus der Konstruktion für das Tensorprodukt und der Konstruktion für das Dachprodukt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und sei ${}n\in \mathbb {N}$ .

Kann man durch die Zuordnung
$v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\mapsto v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}$

eine (lineare) Abbildung von ${}\bigwedge ^{n}V$ nach ${}V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V$ festlegen?
Kann man auf die kanonische Abbildung
$\pi \colon V\times \cdots \times V\longrightarrow V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V$

die universelle Eigenschaft für das Dachprodukt anwenden, um eine lineare Abbildung von ${}\bigwedge ^{n}V$ nach ${}V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V$ zu erhalten?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und sei

\pi \colon V\times \cdots \times V\longrightarrow V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V

(mit ${}n$ Faktoren) die kanonische multilineare Abbildung.

Es sei ${}\sigma \in S_{n}$ eine Permutation. Zeige, dass es eine multilineare Abbildung
$\pi \circ \sigma \colon V\times \cdots \times V\longrightarrow V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V$

mit

${}(\pi \circ \sigma )(v_{1},\ldots ,v_{n})=v_{\sigma (1)}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{\sigma (n)}\,$

gibt.
Zeige, dass ${}\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\pi \circ \sigma$ multilinear und alternierend ist.
Zeige, dass es eine lineare Abbildung
$\Psi \colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V$

mit

${}\Psi (v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )v_{\sigma (1)}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{\sigma (n)}\,$

gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$ . Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie der ${}L$ -Vektorräume