Kurs:Maß- und Integrationstheorie/2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	3	3	3	10	3	3	4	5	4	4	4	0	4	61

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Bildmaß unter einer messbaren Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   von einem Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ in einen Messraum ${}(N,{\mathcal {B}})$.

2. Ein Wahrscheinlichkeitsraum.
3. Das erzeugte Parallelotop zu linear unabhängigen Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem reellen Vektorraum ${}V$.
4. Das Maß zu einer Dichte ${}g$ auf einem Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
5. Ein total beschränkter metrischer Raum ${}M$.
6. Ein Hilbertraum.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen einer ${}\sigma$- Algebra und einem Dynkin-System.
2. Der Satz von der monotonen Konvergenz.
3. Der Satz von Stone-Weierstrass.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}\epsilon >0$ fixiert und sei

${}A_{q}=]q-\epsilon ,q+\epsilon [\,$

die ${}\epsilon$-Umgebung von ${}q$. Bestimme den Limes inferior und den Limes superior dieser (abzählbaren) Familie.

Aufgabe * (2 Punkte)

Auf der Menge der natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ sei ein Maß ${}\mu$ durch

${}\mu {\left(\{n\}\right)}=n\,$

gegeben. Bestimme

$\mu {\left(\{0,1,2,\ldots ,n\}\right)}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine Klorolle hat einen äußeren Durchmesser von ${}12$ cm und einen inneren Durchmesser von ${}4$ cm. Das ausgewickelte Klopapier ergibt eine Länge von ${}20$ Metern. Wie dick ist das Klopapier?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale

${}\triangle ={\left\{(x,y)\in X\times X\mid x=y\right\}}\,$

eine abgeschlossene Teilmenge im Produktraum ${}X\times X$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ ein Messraum und ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion

${\sqrt {f}}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {f(x)}},$

messbar ist.

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Satz über die Fortsetzung eines äußeren Maßes.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

auf einem ${}\sigma$-endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\-5\\6\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelotops.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und es sei ${}T_{n}\uparrow M$ eine Ausschöpfung von ${}M$ mit Teilmengen ${}T_{n}\subseteq M$, ${}n\in \mathbb {N}$. Zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ sei ${}A_{n}\subseteq M\times \mathbb {R}$ der Subgraph zur Indikatorfunktion ${}e_{T_{n}}$. Zeige, dass die ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Ausschöpfung von ${}M\times [0,1]$ bilden.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein endlicher Maßraum und ${}A_{t}$, ${}t\in \mathbb {R}$, eine Familie von messbaren Mengen mit den zugehörigen Indikatorfunktionen ${}e_{A_{t}}$. Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x)=e_{A_{t}}(x).$

Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Satz 11.1 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) sind erfüllt, welche nicht?

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks ${}Q=[-1,3]\times [0,2]$ unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3},y-x^{2}).$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei ${}L^{2}(U,\lambda ^{n})$ der zugehörige ${}L^{2}$- Raum. Zeige, dass es für jede Funktionsklasse ${}f\in L^{2}(U,\lambda ^{n})$ einen Repräsentanten gibt, der in keinem Punkt stetig ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}X$ ein kompakter Raum und es sei ${}Y\subseteq X$ eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Zeige, dass ${}Y$ ebenfalls kompakt ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}T>0$ und es seien ${}f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ ${}T$- periodische messbare Funktionen, die auf ${}[0,T]$ ${}L^{2}$- integrierbar sind und die Fourierreihen ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}e^{{\mathrm {i} }n\omega t}$ bzw. ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}e^{{\mathrm {i} }n\omega t}$ besitzen. Zeige, dass die periodische Faltung die Fourierreihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}d_{n}e^{{\mathrm {i} }n\omega t}$ besitzt.

Anhang

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum, ${}E$ ein metrischer Raum, ${}t_{0}\in E$ und

$f\colon E\times M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$

eine Funktion,

die die folgenden Eigenschaften erfülle.

1. Für alle ${}t\in E$ ist die Funktion ${}x\mapsto f(t,x)$ messbar.
2. Für alle ${}x\in M$ ist die Funktion ${}t\mapsto f(t,x)$ stetig in ${}t_{0}$.
3. Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion

   $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   mit

   ${}\vert {f(t,x)}\vert \leq h(x)\,$

   für alle ${}t\in E$ und alle ${}x\in M$.

Dann ist die Funktion

$\varphi \colon E\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

wohldefiniert und stetig in ${}t_{0}$.

Es sei ${}T>0$ und es seien ${}f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ ${}T$- periodische messbare Funktionen, die auf ${}[0,T]$ ${}L^{2}$- integrierbar sind. Dann ist die periodische Faltung ${}f*g$ durch

${}(f*g)(t):={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t-s)g(s)ds\,$

definiert.