Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine
obere Treppenfunktion
zu einer Funktion
-
auf einem beschränkten Intervall .
- Das totale Differential in einem Punkt einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung
-
(dabei seien
und
endlichdimensionale reelle Vektorräume).
- Den
Tangentialraum
an die Faser einer
stetig differenzierbare Abbildung
-
zwischen endlichdimensionalen
-
Vektorräumen
durch einen Punkt , in dem das totale Differential surjektiv ist.
- Ein
(zeitabhängiges)
Vektorfeld
auf einer offenen Menge .
- Eine
Bilinearform
auf einem
-
Vektorraum
.
- Die
Gramsche Matrix
zu einer
Bilinearform
auf einem
-
Vektorraum
bezüglich einer
Basis
von .
- Der
Dualraum
zu einem
-
Vektorraum
.
- Eine
trigonalisierbare
lineare Abbildung
,
wobei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum ist.
Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine
obere Treppenfunktion
zu einer Funktion
-
auf einem beschränkten Intervall .
- Das totale Differential in einem Punkt einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung
-
(dabei seien
und
endlichdimensionale reelle Vektorräume).
- Den
Tangentialraum
an die Faser einer
stetig differenzierbare Abbildung
-
zwischen endlichdimensionalen
-
Vektorräumen
durch einen Punkt , in dem das totale Differential surjektiv ist.
- Ein
(zeitabhängiges)
Vektorfeld
auf einer offenen Menge .
- Eine
Bilinearform
auf einem
-
Vektorraum
.
- Die
Gramsche Matrix
zu einer
Bilinearform
auf einem
-
Vektorraum
bezüglich einer
Basis
von .
- Der
Dualraum
zu einem
-
Vektorraum
.
- Eine
trigonalisierbare
lineare Abbildung
,
wobei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum ist.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
- Die
Formel für die Länge
einer Kurve
-
- Der Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung
-
in einem Punkt
.
- Der
Satz über die Umkehrabbildung.
- Es seien
, ,
Polynome und es sei
-
mit verschiedenen . Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom und eindeutig bestimmte Koeffizienten
, , ,
mit
-
- Es sei ein kompaktes Intervall und
-
eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt
-
- Sei
im Punkt
total differenzierbar
mit dem totalen Differential . Dann ist in in jede Richtung differenzierbar, und es gilt
-
- Es seien
und
euklidische Vektorräume,
sei
offen
und es sei
-
eine
stetig differenzierbare Abbildung.
Es sei ein Punkt derart, dass das
totale Differential
-
bijektiv
ist. Dann gibt es eine offene Menge und eine offene Menge mit und mit derart, dass eine
Bijektion
-
induziert, und dass die Umkehrabbildung
-
ebenfalls stetig differenzierbar ist.
Berechne das
bestimmte Integral
zur Funktion
-
über .
Eine Stammfunktion zu ist
-
Daher ist
Wir betrachten die Funktion
-
a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von .
b) Bestimme eine Stammfunktion von für
.
a) Zunächst ist
-
Polynomdivision des Zählers durch den Nenner ergibt
-
Daher ist
-
Für den rechten Bruch bestimmen wir die Partialbruchzerlegung über den Ansatz
-
der wiederum auf
-
führt.
Für
ergibt sich
-
also
.
Für
ergibt sich
-
also
-
Für
ergibt sich
-
also
.
Der Koeffizient zu führt schließlich auf
-
Die Subtraktion der dritten Gleichung von der zweiten führt auf
-
Aus der vierten Gleichung folgt daraus
-
und aus der zweiten Gleichung ergibt sich
-
Somit ergibt sich insgesamt die Partialbruchzerlegung
-
b) Eine Stammfunktion von ist
-
Es sei
-
eine
stetig differenzierbare Kurve
und sei
-
eine
lineare Isometrie.
Beweise die Längengleichheit
-
Für eine stetig differenzierbare Kurve
-
gilt
-
Die Kurve ist ebenfalls stetig differenzierbar, und nach der Kettenregel gilt
-
da
linear ist. Da
eine Isometrie ist, stimmt die Norm von
mit der Norm von
überein. Daher ist
-
Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
-
a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.
b) Zeige, dass im Nullpunkt nicht regulär ist.
c) Zeige, dass in regulär ist.
a) Die Jacobi-Matrix ist
-
b) Die Jacobi-Matrix im Nullpunkt ist
-
Diese Matrix hat den Rang , so dass der Nullpunkt nicht regulär ist.
c) Die Jacobi-Matrix in ist
-
Die Determinante der vorderen -Untermatrix ist , so dass die ersten vier Spaltenvektoren linear unabhängig sind und daher der Rang der Matrix gleich ist. Daher handelt es sich um einen regulären Punkt.
Untersuche die
Funktion
-
auf
kritische Punkte
und
Extrema.
Die partiellen Ableitungen der Funktion sind
-
und
-
Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist, dass der Gradient ist. Aus
-
folgt sofort
-
also und daraus
-
Es kann also allenfalls im kritischen Punkt ein lokales Extremum vorliegen.
Die Hesse-Matrix der Funktion ist
-
Der Eintrag links oben ist also positiv und die Determinante ist negativ. Daher ist die Hesse-Matrix indefinit und somit liegt kein Extremum vor.
Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Es sei
-
eine stetige Funktion. Über dem kompakten Intervall ist die Funktion nach oben und nach unten beschränkt, es seien
und
das
Minimum
bzw. das
Maximum
der Funktion. Dann ist insbesondere für alle und
-
Daher ist mit einem und aufgrund des Zwischenwertsatzes
gibt es ein mit .
Beweise den
Satz über implizite Abbildungen
für den Fall einer linearen surjektiven Abbildung
-
Für welche Punkte
sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?
Wir betrachten die Funktion
-
Für welche
, ,
besitzt die zugehörige dreistufige
(maximale)
untere Treppenfunktion
zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
Es seien die Markierungen der möglichen Intervallunterteilungen. Der Flächeninhalt der zugehörigen maximalen unteren Treppenfunktion von ist
Die partiellen Ableitungen davon sind
-
Wir bestimmen die kritischen Punkte. Aus der ersten Gleichung folgt
-
(den negativen Fall kann man ausschließen).
Wir setzen
in die zweite Gleichung ein und erhalten die Bedingung
-
woraus
-
folgt. Daher ist
-
und der einzige kritische Punkt ist
-
Die Hesse-Matrix von ist
-
Im kritischen Punkt ist der Eintrag links oben negativ. Die Determinante ist
-
positiv, so dass die Hesse-Matrix negativ definit ist und daher im kritischen Punkt ein Maximum vorliegt. Da es auch in einer geeigneten
(kleinen) offenen Umgebung des abgeschlossenen Definitionsbereiches keinen weiteren kritischen Punkt gibt, liegt ein absolutes Maximum vor. Der Wert ist
a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
-
b) Löse das Anfangswertproblem
-
mit der Anfangsbedingung .
a) Wir berechnen die Eigenwerte der Matrix. Das charakteristische Polynom davon ist
-
Daher sind
und
die Eigenwerte, und daher ist die Matrix diagonalisierbar.
Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert berechnen wir den Kern von
-
Dies ergibt den Eigenvektor zum Eigenwert und damit die erste Fundamentallösung
-
Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert berechnen wir den Kern von
-
Dies ergibt den Eigenvektor zum Eigenwert und damit die zweite Fundamentallösung
-
Die allgemeine Lösung hat demnach die Form
-
mit .
b)
Um das Anfangsproblem zu lösen müssen wir
und
so bestimmen, dass
-
ist. Die zweite Gleichung bedeutet . Wir addieren das -fache der ersten Zeile zu dazu und erhalten
-
woraus sich
-
und somit
-
ergibt. Daher ist
-
Die Lösung des Anfangswertproblems ist also
-
Zur pdf-Version der Nachklausur
Zur pdf-Version der Nachklausur mit Lösungen