- Minorenkriterien für symmetrische Bilinearformen[1]
Es sei eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei eine
Basis
von . Es sei die
Gramsche Matrix
zu bezüglich dieser Basis. Die
Determinanten
der
quadratischen
Untermatrizen
-
seien für
von verschieden. Es sei die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
-
Dann ist vom
Typ
.
Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht ist, ist nach
Aufgabe 47.1
die Bilinearform
nicht ausgeartet
und daher hat der Typ die Form . Wir müssen zeigen, dass
ist.
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von , wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension bewiesen und es liege ein -dimensionaler Raum mit einer Basis mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der
Untervektorraum
-
hat die Dimension und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der
Gramschen Matrix
zur eingeschränkten Form stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied
-
weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt den Typ , wobei die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
-
ist. Aufgrund der Definition des
Typs
ist
-
da ein -dimensionaler Untervektorraum
,
auf dem die Bilinearform
negativ definit
ist, zu einem Untervektorraum
-
führt, der die Dimension
oder
besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach
Aufgabe 47.2
ist das Vorzeichen von gleich und das Vorzeichen von gleich . Das bedeutet, dass zwischen
und
ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel
(und somit
)
genau dann vorliegt, wenn
-
ist.
Es sei eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei eine
Basis
von . Es sei die
Gramsche Matrix
zu bezüglich dieser Basis und es seien die
Determinanten
der
quadratischen
Untermatrizen
-
Dann gelten folgende Aussagen.
- Genau dann ist
positiv definit,
wenn alle positiv sind.
- Genau dann ist
negativ definit,
wenn das Vorzeichen in der Folge an jeder Stelle wechselt.
(1). Wenn die Bilinearform
positiv definit
ist, so ist nach
Aufgabe 47.2
das Vorzeichen der
Determinante
der
Gramschen Matrix
gleich
,
also positiv. Da die Einschränkung der Form auf die Unterräume
ebenfalls positiv definit ist, sind auch die Determinanten zu den Untermatrizen positiv.
Wenn umgekehrt die Determinanten alle positiv sind, so folgt aus
Satz 47.1, dass die Bilinearform positiv definit ist.
(2) folgt aus (1), indem man die negative Bilinearform, also , betrachtet.
- Die Taylor-Formel - Vorbereitungen
Ein Polynom in Variablen,
-
(wobei die Summe endlich ist)
lässt sich entlang des Grades des Exponententupels, also
-
anordnen, also
-
Für jedes kann man dies auch schreiben als
-
mit
()
-
Für gilt dabei
-
Bei ist
-
die
lineare Approximation
von im Punkt , und dabei gilt für die Abweichung in der linearen Approximation die Beziehung . Im Allgemeinen liefern die Polynome bessere Approximationen im Nullpunkt als die lineare Approxmation, und mit kann man die Abweichung kontrollieren. Entscheidend für uns ist, dass man nicht nur für Polynomfunktionen, sondern generell für hinreichend oft differenzierbare Funktionen approximierende Polynome finden und die Abweichung gut kontrollieren kann. Dies ist der Inhalt der Taylor-Formel für Funktionen in mehreren Variablen.
Zu einem Vektor
und einem Tupel
aus natürlichen Zahlen setzt man abkürzend
-
Entsprechend schreibt man für eine Polynomfunktion abkürzend
-
Die gleiche Abkürzungsphilosophie übernimmt man für Richtungsableitungen. Wenn ein -Vektorraum mit einer Basis ist, so setzt man
,
und für
setzt man
-
Diese Bezeichnung verwendet man insbesondere im , versehen mit der Standardbasis und den partiellen Ableitungen. Man beachte, dass man
aufgrund des Satzes von Schwarz
unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen sämtliche Reihenfolgen von Richtungsableitungen in dieser Weise ausdrücken kann. Des weiteren definieren wir für ein Tupel
die Fakultät durch
-
und bei
die Multinomialkoeffizienten
(oder Polynomialkoeffizienten)
durch
-
Bevor wir die Taylor-Formel beweisen, die das lokale Verhalten einer Funktion in einer „kleinen“ offenen Ballumgebung eines Punktes beschreibt, wenden wir uns dem lokalen Verhalten in dem Punkt längs einer fixierten Richtung zu, wofür wir die Taylor-Formel in einer Variablen zur Verfügung haben. Zu einer Funktion
(, euklidischer Vektorraum)
-
ist die Differenzierbarkeit im Punkt in Richtung äquivalent zur Differenzierbarkeit der Funktion
-
für , wobei ein geeignetes reelles Intervall ist. Wir werden zunächst zeigen, dass eine entsprechende Beziehung auch für höhere Ableitungen gilt.
Es sei
offen,
-
eine
-mal
stetig differenzierbare Funktion,
ein Punkt und
eine fixierte Richtung. Es sei
-
wobei ein offenes Intervall um sei mit
für alle
.
Dann ist ebenfalls -mal
stetig differenzierbar,
und es gilt
-
für alle
.
Wir zeigen durch Induktion über , dass
-
gilt. Hier wird also über jede Richtungsreihenfolge der Länge aufsummiert, später werden wir unter Verwendung des Satzes von Schwarz gleiche Summanden zusammenfassen. Für
ist
-
Der Induktionsschluss ergibt sich aus
-
Aufgrund des
Satzes von Schwarz
kommt es nicht auf die Reihenfolge der Richtungableitungen an, d.h. zwei Summanden in der obigen Summe stimmen überein, wenn darin die jeweiligen Richtungsableitungen gleichhäufig vorkommen. Die Anzahl der Tupel in , bei denen die Zahl genau -mal vorkommt, wird durch die
Polynomialkoeffizienten
-
beschrieben. Daraus ergibt sich die Behauptung.
Es sei
eine
offene
Teilmenge,
-
eine -mal
stetig-differenzierbare Funktion
und
.
Dann heißt
-
das Taylor-Polynom vom Grad
zu in .
Es sei
offen,
-
eine
-mal
stetig differenzierbare Funktion,
ein Punkt und
derart, dass die Strecke von
nach
ganz in liegt. Dann gibt es ein
mit
-
Die Funktion
-
(mit einem geeigneten
)
ist nach
Satz 47.3
-mal
differenzierbar.
Aufgrund der
Taylor-Formel für eine Variable
gibt es ein
[2]
mit
-
Wir drücken die einzelnen Summanden mit Hilfe von
Satz 47.3
aus und erhalten
- Fußnoten
- ↑ Unter einem Minor versteht man die Determinante einer quadratischen Untermatrix einer Matrix. Man könnte also genauso gut von einem Determinantenkriterium sprechen.
- ↑ Der Beweis der Taylor-Formel für eine Variable
zeigt, dass zwischen den beiden beteiligten Punkten gewählt werden kann.