Lösung
- Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
- Eine reelle Folge ist eine
Abbildung
-
- Das Cauchy-Produkt der beiden Reihen
und
ist die Reihe
-
- Zu
, ,
heißt die Zahl
-
der Differenzenquotient von zu
und .
- Die Funktion
-
heißt die Integralfunktion zu zum Startpunkt .
- Ein Element heißt ein Eigenwert zu , wenn es einen von verschiedenen Vektor mit
-
gibt.
Lösung
- Es seien
und
konvergente Folgen in . Dann ist die Folge ebenfalls konvergent und es gilt
-
- Es sei und seien
-
stetige, auf differenzierbare Funktionen mit
-
für alle . Dann ist
und es gibt ein mit
-
- Es sei ein Körper und sei eine
-
Matrix
über . Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.
Lösung
-
Erläutere das Prinzip Beweis durch Fallunterscheidung.
Lösung Beweis durch Fallunterscheidung/Erläuterung/Aufgabe/Lösung
Es seien und nichtleere Mengen und
-
Abbildungen für . Es sei , , und die Produktabbildung, also
-
a) Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn alle surjektiv sind.
b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.
Lösung
a) Es seien alle surjektiv und sei . Zu jedem gibt es ein mit . Daher ist ein Urbild von unter .
Es sei umgekehrt surjektiv, und sei gegeben. Da die alle nicht leer sind, gibt es jeweils ein . Wir setzen
-
Dafür gibt es nach Voraussetzung ein Urbild . Für die -te Komponente davon muss gelten.
b) Es sei , sei die leere Abbildung und seien und irgendwelche
(nichtleere)
Mengen und sei
eine beliebige nicht surjektive Abbildung. Dann ist und und daher ist die Produktabbildung ebenfalls die leere Abbildung, also surjektiv, obwohl nicht alle surjektiv sind.
Finde eine natürliche Zahl derart, dass
-
ist.
Lösung
Man kann
nehmen. Es ist nämlich
-
Bestimme die ganzzahligen Lösungen
der Ungleichung
-
Lösung
Es ist
-
Bei positivem führt die Bedingung
-
auf
-
bzw.
-
Dies ist für
-
erfüllt. Für negatives schreiben wir
-
mit positiv. Die Bedingung
-
bedeutet dann
-
und ist für jedes
(positive)
erfüllt, da links eine positive rationale Zahl steht. Insgesamt ist die Ungleichung also für alle ganzen Zahlen erfüllt.
Berechne
-
Lösung
Es ist
Beweise den Satz, dass der
Limes
einer
konvergenten Folge
in eindeutig bestimmt ist.
Lösung
Lösung
- Als Hintereinanderschaltung von stetigen Funktionen ist nach
[[Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
auch stetig. Nach
Lemma 10.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
konvergiert auch die Bildfolge, und zwar wegen
-
gegen . Somit ist eine Nullfolge.
- Sei
-
dies ist eine Nullfolge, und sei
-
Dann ist
-
und somit ist
-
also die konstante Folge mit dem Wert und keine Nullfolge.
Die beiden lokalen Extrema der Funktion
-
definieren ein achsenparalleles Rechteck, das vom Funktionsgraphen in zwei Bereiche zerlegt wird. Bestimme deren Flächeninhalte.
Lösung
Lösung
Nach
Satz 16.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
ist
und
wobei wir im vorletzten Schritt
gesetzt haben.
Zeige, dass für
, ,
die Gleichheit
-
gilt.
Lösung
Es ist
Wir wenden die Umkehrfunktion auf diese Gleichung an und erhalten
-
Lösung
- Es handelt sich um den oberen Halbkreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Für die Punkte auf dem Kreisbogen gilt
-
somit ist der obere Halbbogen der Graph der Funktion
-
- Es ist
-
auf zu zeigen, wobei die Situation symmetrisch zur Achse durch
ist. Da beide Funktionen nichtnegativ sind, genügt es, die quadrierte Abschätzung nachzuweisen, also
-
Beide Funktionen sind auf streng wachsend und haben im Nullpunkt den Wert . Für
ist
-
Für
vergleichen wir die Ableitungen der quadrierten FUnktionen. Es ist
-
und
-
Im angegebenen Bereich ist
-
die Funktion wächst also schneller als und somit gilt auch in diesem Abschnitt die Abschätzung.
- Der Flächeninhalt unter dem Kreisbogen ist der halbe Flächeninhalt eines Kreises mit Radius , also gleich
-
Der Flächeninhalt unter dem Sinusbogen ist
-
Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit gleich
-
Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in Variablen über einem Körper .
Lösung
Lösung
Es seien
und
Basen von
bzw.
und es seien die Spaltenvektoren von .
Die Abbildung hat die Eigenschaft
-
wobei der -te Eintrag des -ten Spaltenvektors ist. Daher ist
-
Dies ist genau dann , wenn
für alle ist, und dies ist äquivalent zu
-
Dafür gibt es ein nichttriviales
(Lösungs-)Tupel genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn der
Kern
von nicht trivial ist. Dies ist gemäß
Lemma 24.14 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
äquivalent dazu, dass nicht injektiv ist.
Lösung
Aufgrund
des Determinantenmultiplikationssatzes
ist
-
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit.
Lösung
Sei
und sei eine
Basis
von diesem
Eigenraum,
die wir durch zu einer Basis von
ergänzen.
Bezüglich dieser Basis hat die
beschreibende Matrix
die Gestalt
-
Das
charakteristische Polynom
ist daher
nach Aufgabe 26.9 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
gleich , sodass die
algebraische Vielfachheit
mindestens ist.