Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/48/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	4	1	7	3	7	6	5	4	4	3	3	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Primzahl.
2. Eine Teilfolge einer Folge reeller Zahlen.
3. Eine gerade Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
4. Der Logarithmus zur Basis ${}b\in \mathbb {R} _{+}$, ${}b\neq 1$, einer positiven reellen Zahl ${}x$.
5. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

6. Eine Basis eines ${}K$- Vektorraums ${}V$.

Lösung

1. Eine natürliche Zahl ${}n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr ${}1$ und ${}n$ sind.
2. Zu einer streng wachsenden Abbildung ${}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, ${}i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge

   $i\mapsto x_{n_{i}}$

   eine Teilfolge der Folge.

3. Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt gerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

   ${}f(x)=f(-x)\,$

   gilt.

4. Der Logarithmus zur Basis ${}b\in \mathbb {R} _{+}$, ${}b\neq 1$, von ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ ist durch

   ${}\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$

   definiert.

5. Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu ${}f$ über ${}[a,b]$ heißt bestimmtes Integral.
6. Eine Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von Vektoren in ${}V$ heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produktes.
2. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
3. Der Satz über die Beziehung zwischen Eigenschaften von linearen Abbildungen und Matrizen.

Lösung

1. Es seien

   $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

   zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen. Dann ist auch das Cauchy-Produkt ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt

   ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$

2. Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Dann gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

   ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.

   1. ${}\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
   2. ${}\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von ${}K^{m}$ bilden.
   3. Bei ${}m=n$ ist ${}\varphi$ genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von ${}K^{m}$ bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}M$ invertierbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$ ${}q$ ${}r$ ${}?$ w w w w w w f f w f w f w f f f f w w f f w f f f f w f f f f w

Lösung

$(p\leftrightarrow q)\wedge (p\leftrightarrow r).$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine injektive Abbildung. Zeige, dass es eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ derart gibt, dass man ${}\varphi$ als Abbildung

$\varphi '\colon L\longrightarrow T$

auffassen kann (${}\varphi$ und ${}\varphi '$ unterscheiden sich nur hinsichtlich des Wertebereichs) und dass ${}\varphi '$ bijektiv ist.

Lösung

Es sei

${}T={\left\{y\in M\mid {\text{ es gibt }}x\in L{\text{ mit }}y=\varphi (x)\right\}}\,.$

Da ${}T$ sämtliche Elemente aus ${}M$ enthält, die überhaupt unter ${}\varphi$ getroffen werden, kann man ${}\varphi$ als eine Abbildung

$\varphi '\colon L\longrightarrow T,\,x\longmapsto \varphi (x),$

auffassen. Diese Abbildung ist surjektiv, da ja jedes Element aus ${}T$ nach Definition getroffen wird. Die Injektivität überträgt sich direkt von ${}\varphi$ auf ${}\varphi '$, da die Gleichheit von Elementen in einer Teilmenge mit der Gleichheit in der Menge übereinstimmt. Daher ist ${}\varphi '$ bijektiv.

Aufgabe (2 Punkte)

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge ${}21,7$ Meter beträgt. Dieser soll auf die Weltbevölkerung (${}8$ Milliarden) gleichmäßig aufgeteilt und als Goldwürfel ausgeteilt werden. Welche Seitenlänge hat der Würfel, den jeder Mensch bekommt?

Lösung

Es ist

${}8000000000=2000^{3}\,,$

deshalb ist die Seitenlänge der zu verteilenden Würfel gleich

${}{\frac {21,7}{2000}}=0,01085\,,$

also ${}1,085$ Zentimeter.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}x,y$ rationale Zahlen. Zeige, dass

${}x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor \,$

genau dann gilt, wenn es ein ${}n\in \mathbb {Z}$ mit ${}y=x+n$ gibt.

Lösung

Es sei ${}x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor$. Da ${}\left\lfloor x\right\rfloor ,\left\lfloor y\right\rfloor$ ganze Zahlen sind, ist ${}n=\left\lfloor y\right\rfloor -\left\lfloor x\right\rfloor$ ganzzahlig. Damit gilt

${}{\begin{aligned}y&=\left\lfloor y\right\rfloor +(y-\left\lfloor y\right\rfloor )\\&=\left\lfloor y\right\rfloor +(x-\left\lfloor x\right\rfloor )\\&=x+\left\lfloor y\right\rfloor -\left\lfloor x\right\rfloor \\&=x+n.\end{aligned}}$

Es sei nun ${}y=x+n$ mit ${}n\in \mathbb {Z}$. Aus der definierenden Beziehung

${}\left\lfloor x\right\rfloor \leq x<\left\lfloor x\right\rfloor +1\,$

folgt

${}\left\lfloor x\right\rfloor +n\leq x+n<\left\lfloor x\right\rfloor +n+1\,,$

daher muss

${}\left\lfloor x+n\right\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +n\,$

sein. Somit ist

${}{\begin{aligned}y-\left\lfloor y\right\rfloor &=x+n-\left\lfloor x+n\right\rfloor \\&=x+n-(\left\lfloor x\right\rfloor +n)\\&=x-\left\lfloor x\right\rfloor .\end{aligned}}$

Aufgabe (1 Punkt)

Schreibe das Polynom

$X^{4}-1$

als Produkt von Linearfaktoren in ${}{\mathbb {C} }[X]$.

Lösung

Es ist

${}X^{4}-1=(X^{2}-1)(X^{2}+1)=(X-1)(X+1)(X+i)(X-i)\,.$

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Lösung

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den Grad von ${}P$. Wenn der Grad von ${}T$ größer als der Grad von ${}P$ ist, so ist ${}Q=0$ und ${}R=P$ eine Lösung, sodass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei ${}\operatorname {grad} \,(P)=0$ ist nach der Vorbemerkung auch ${}\operatorname {grad} \,(TP)=0$, also ist ${}T$ ein konstantes Polynom, und damit ist (da ${}T\neq 0$ und ${}K$ ein Körper ist) ${}Q=P/T$ und ${}R=0$ eine Lösung. Es sei nun ${}\operatorname {grad} \,(P)=n$ und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben ${}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$ und ${}T=b_{k}X^{k}+\cdots +b_{1}X+b_{0}$ mit ${}a_{n},b_{k}\neq 0,\,k\leq n$. Dann gilt mit ${}H={\frac {a_{n}}{b_{k}}}X^{n-k}$ die Beziehung

${}{\begin{aligned}P'&:=P-TH\\&=0X^{n}+{\left(a_{n-1}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{k-1}\right)}X^{n-1}+\cdots +{\left(a_{n-k}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{0}\right)}X^{n-k}+a_{n-k-1}X^{n-k-1}+\cdots +a_{0}.\end{aligned}}$

Dieses Polynom ${}P'$ hat einen Grad kleiner als ${}n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt ${}Q'$ und ${}R'$ mit

$P'=TQ'+R'{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R')<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R'=0.$

Daraus ergibt sich insgesamt

${}P=P'+TH=TQ'+TH+R'=T(Q'+H)+R'\,,$

sodass also ${}Q=Q'+H$ und ${}R=R'$ eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei ${}P=TQ+R=TQ'+R'$ mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist ${}T(Q-Q')=R'-R$. Da die Differenz ${}R'-R$ einen Grad kleiner als ${}\operatorname {grad} \,(T)$ besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei ${}R=R'$ und ${}Q=Q'$ lösbar.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Lösung

Es ist

${}x_{1}={\frac {2+{\frac {5}{2}}}{2}}={\frac {9}{4}}\,,$

${}x_{2}={\frac {{\frac {9}{4}}+{\frac {5}{\,{\frac {9}{4}}\,}}}{2}}={\frac {{\frac {9}{4}}+{\frac {20}{9}}}{2}}={\frac {81+80}{72}}={\frac {161}{72}}\,,$

${}x_{3}={\frac {{\frac {161}{72}}+{\frac {5}{\,{\frac {161}{72}}\,}}}{2}}={\frac {{\frac {161}{72}}+{\frac {360}{161}}}{2}}={\frac {25921+25920}{23184}}={\frac {51841}{23184}}\,.$

Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

1. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, ${}y_{n}\neq 0$, derart, dass ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ gegen ${}1$ konvergiert, aber ${}x_{n}-y_{n}$ nicht konvergiert.
2. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, ${}y_{n}\neq 0$, derart, dass ${}x_{n}-y_{n}$ gegen ${}0$ konvergiert, aber ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ nicht konvergiert.
3. Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen derart, dass ${}x_{n}-y_{n}$ gegen ${}0$ konvergiert. Es gebe ein ${}a>0$ mit

   ${}y_{n}\geq a\,$

   für alle ${}n$. Zeige, dass ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ gegen ${}1$ konvergiert.

Lösung

1. Es sei

   ${}x_{n}=n^{2}+n\,$

   und

   ${}y_{n}=n^{2}\,$

   für ${}n\geq 1$. Dann ist

   ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {n^{2}+n}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{n}}\,.$

   Dies konvergiert gegen ${}1$. Die Differenzfolge

   ${}x_{n}-y_{n}=n^{2}+n-n^{2}=n\,$

   konvergiert nicht.

2. Es sei

   ${}x_{n}={\frac {1}{n}}\,$

   und

   ${}y_{n}={\frac {1}{n^{2}}}\,.$

   Dann ist

   ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\frac {1}{n}}{\frac {1}{n^{2}}}}={\frac {n^{2}}{n}}=n\,.$

   Dies konvergiert nicht. Die Differenzfolge

   ${}x_{n}-y_{n}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n^{2}}}\,$

   konvergiert gegen ${}0$, da beide Folgen Nullfolgen sind.

3. Wir schreiben

   ${}x_{n}=y_{n}+z_{n}\,,$

   wobei ${}z_{n}$ nach Voraussetzung eine Nullfolge ist. Damit ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}&={\frac {y_{n}+z_{n}}{y_{n}}}\\&=1+{\frac {z_{n}}{y_{n}}}.\end{aligned}}$

   Dabei ist

   ${}\vert {\frac {z_{n}}{y_{n}}}\vert =\vert {z_{n}}\vert \cdot \vert {\frac {1}{y_{n}}}\vert \leq \vert {z_{n}}\vert \cdot \vert {\frac {1}{a}}\vert \,$

   eine Nullfolge. Somit konvergiert die Quotientenfolge gegen ${}1$.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.

Lösung

Wir beschränken uns auf die Situation ${}f(a)\leq u\leq f(b)$ und zeigen die Existenz von einem solchen ${}c$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man ${}a_{0}:=a$ und ${}b_{0}:=b$, betrachtet die Intervallmitte ${}c_{0}:={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}$ und berechnet

$f(c_{0}).$

Bei ${}f{\left(c_{0}\right)}\leq u$ setzt man

$a_{1}:=c_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=b_{0}$

und bei ${}f{\left(c_{0}\right)}>u$ setzt man

$a_{1}:=a_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=c_{0}.$

In jedem Fall hat das neue Intervall ${}[a_{1},b_{1}]$ die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung ${}f{\left(a_{1}\right)}\leq u\leq f{\left(b_{1}\right)}$ erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei ${}c$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß Satz 8.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(a_{n}\right)}\leq u$ und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert ${}c$, also ${}f{\left(c\right)}\leq u$. Für die oberen Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(b_{n}\right)}\geq u$ und das überträgt sich ebenfalls auf ${}c$, also ${}f(c)\geq u$.  Also ist ${}f(c)=u$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Funktion ${}f(x)={\left(\cos x\right)}^{1/x}$ für ${}x\rightarrow 0$ (${}x>0$).

Lösung

Es ist

${}f(x)={\left(\cos x\right)}^{1/x}=\exp \left({\frac {1}{x}}\ln \left(\cos x\right)\right)\,$

und somit ist

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,\exp \left({\frac {1}{x}}\ln \left(\cos x\right)\right)$

zu bestimmen. Da die Exponentialfunktion stetig ist, müssen wir

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\ln \left(\cos x\right)}{x}}$

bestimmen. Sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion besitzen den Grenzwert ${}0$. Wir können die Regel von Hospital anwenden und betrachten

${\frac {\frac {-\sin x}{\cos x}}{1}}.$

Dies konvergiert für ${}x\rightarrow 0$ gegen ${}0$. Somit ist auch

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\ln \left(\cos x\right)}{x}}=0\,$

und damit ist

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,\exp \left({\frac {1}{x}}\ln \left(\cos x\right)\right)=\exp 0=1\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion überkreuzen sich mehrfach und begrenzen dabei Gebiete mit einem endlichen Flächeninhalt. Bestimme den Flächeninhalt eines solchen Gebietes.

Lösung

Aufgrund von [[Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))  (3)]] ist ${}\cos \left(x+\pi /2\right)=-\sin x$ und damit

${}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)=-\sin \left(-{\frac {\pi }{4}}\right)=-\cos \left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\,.$

Diese Überkreuzung wiederholt sich mit der Periode ${}\pi$. Wegen

${}\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\,$

ist der Wert an den Überkreuzungsstellen abwechselnd gleich ${}\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}$

Von ${}{\frac {\pi }{4}}$ bis ${}{\frac {5\pi }{4}}$ verläuft der Sinus oberhalb des Kosinus. Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit

${}{\begin{aligned}\int _{\frac {\pi }{4}}^{\frac {5\pi }{4}}\sin x-\cos x\,dx&=\left(-\cos x-\sin x\right)|_{\frac {\pi }{4}}^{\frac {5\pi }{4}}\\&=-\cos \left({\frac {5\pi }{4}}\right)-\sin \left({\frac {5\pi }{4}}\right)+\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&=4{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\&=2{\sqrt {2}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Quadratabbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{2},$

für verschiedene Körper ${}K$.

1. Ist ${}\varphi$ linear für

   ${}K=\mathbb {Q} \,?$

2. Ist ${}\varphi$ linear für

   ${}K=\mathbb {Z} /(2)\,,$

   dem Körper mit zwei Elementen.

3. Es sei nun ${}K$ ein Körper, in dem ${}2=1+1=0$ gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist ${}\varphi$ linear? Ist ${}\varphi$ verträglich mit der Addition?

Lösung

1. Es ist

   ${}\varphi (1+1)=\varphi (2)=4\neq 1+1=\varphi (1)+\varphi (1)\,,$

   somit ist ${}\varphi$ auf ${}\mathbb {Q}$ nicht linear.

2. Für den Körper mit zwei Elementen ${}\mathbb {Z} /(2)=\{0,1\}$ ist ${}\varphi (0)=0$ und ${}\varphi (1)=1$. Also ist ${}\varphi$ die Identität und somit linear.
3. Es ist

   ${}\varphi (u+v)=(u+v)^{2}=u^{2}+2uv+v^{2}=u^{2}+v^{2}=\varphi (u)+\varphi (v)\,,$

   daher erfüllt ${}\varphi$ die Additivität. Sie ist aber nicht mit der Skalierung verträglich und somit nicht linear. Nehmen wir an, dass ${}\varphi$ mit der Skalierung verträglich wäre. Dann ist für jedes ${}s\in K$

   ${}s^{2}=\varphi (s)=\varphi (s1)=s\varphi (1)=s1=s\,.$

   In einem Körper gibt es aber nur zwei Elemente, die die Gleichung

   ${}s^{2}=s\,$

   erfüllen.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}-2-{\mathrm {i} }&3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\0&6+7{\mathrm {i} }&4\\3+3{\mathrm {i} }&4-3{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\det {\begin{pmatrix}-2-{\mathrm {i} }&3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\0&6+7{\mathrm {i} }&4\\3+3{\mathrm {i} }&4-3{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&={\left(-2-{\mathrm {i} }\right)}\cdot \det {\begin{pmatrix}6+7{\mathrm {i} }&4\\4-3{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+{\left(3+3{\mathrm {i} }\right)}\cdot \det {\begin{pmatrix}3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\6-7{\mathrm {i} }&4\end{pmatrix}}\\&={\left(-2-{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left({\left(6+7{\mathrm {i} }\right)}{\left(-4-{\mathrm {i} }\right)}-4{\left(4-3{\mathrm {i} }\right)}\right)}+{\left(3+3{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left(4{\left(3-4{\mathrm {i} }\right)}-2{\mathrm {i} }{\left(6-7{\mathrm {i} }\right)}\right)}\\&={\left(-2-{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left(-47-22{\mathrm {i} }\right)}+{\left(3+3{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left(-2-28{\mathrm {i} }\right)}\\&=72+91{\mathrm {i} }+78-82{\mathrm {i} }\\&=150+9{\mathrm {i} }.\,\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Finde ganze Zahlen ${}a,b,c,d,e,f$ derart, dass die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}6&10&15\\a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}$

gleich ${}1$ ist.

Lösung

Eine solche Matrix ist

${\begin{pmatrix}6&10&15\\-1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und seien ${}\varphi ,\psi \colon V\rightarrow V$ lineare Abbildungen, von denen die charakteristischen Polynome bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von ${}\varphi +\psi$ bestimmen?

Lösung

Das kann man nicht. Wir betrachten die beiden nilpotenten ${}2\times 2$- Matrizen

$\varphi ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}.$

Ihr charakteristisches Polynom ist jeweils ${}X^{2}$. Ihre Summe ist

${}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,$

und das charakteristische Polynom davon ist ${}X^{2}-1$. Wenn man dagegen ${}\varphi$ zweimal nimmt, also ${}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}}$, so ist dies ebenfalls nilpotent, und das charakteristische Polynom ist ${}X^{2}$.