Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/10/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
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Punkte | 3 | 3 | 5 | 4 | 2 | 5 | 3 | 4 | 6 | 3 | 5 | 4 | 4 | 3 | 3 | 4 | 3 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine
ortsunabhängige
gewöhnliche Differentialgleichung
- Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum .
- Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge .
- Die Relativgeschwindigkeit von zwei Beobachtern und mit den Vierergeschwindigkeiten und in einem Minkowski-Raum .
- Die
Hesse-Matrix
zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion
in einem Punkt .
- Die
Integrabilitätsbedingung
eines differenzierbaren
Vektorfeldes
wobei eine offene Teilmenge ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die
Formel für die Bogenlänge des Graphen
einer
stetig differenzierbaren Funktion
- Der Satz über die Lösung zu einem Eigenvektor bei einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
- Der Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.
Aufgabe * (5 Punkte)
Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es seien und metrische Räume und es seien
zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge
abgeschlossen in ist.
Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)
a) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale
b) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale
Aufgabe * (5 Punkte)
Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)
Es sei ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in Variablen und sei ein Punkt vorgegeben.
- Erstelle eine rekursive Formel für die Punkte im Polygonzugverfahren zum Startpunkt und zur Schrittweite in dieser Situation.
- Erstelle eine geschlossene Formel für zur Schrittweite .
- Erstelle eine Formel für zur Schrittweite .
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)
Wir betrachten die Funktion
- Man schreibe als
mit geeigneten Termen , wobei und nicht von und abhängen dürfen.
- Man folgere aus der Darstellung aus (1), dass in einem beliebigen Punkt total differenzierbar ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei offen und
eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ein surjektives totales Differential besitze. Es sei ein Vektor des Tangentialraumes an die Faser zu durch . Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve
(für ein geeignetes ) mit und mit
gibt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem
mit () zum Gradientenfeld zur Funktion
Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)
Wir betrachten gleichschenklige Dreiecke, deren Schenkel die Länge haben, und die durch den inneren Winkel an der Spitze gegeben sind.
- Bestimme den Flächeninhalt eines solchen gleichschenkligen Dreieckes in Abhängigkeit von .
- Für welche Winkel ist der Flächeninhalt maximal oder minimal?
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion
um die -Achse rotieren lässt.
Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
- Bestimme die Jacobi-Matrix von in jedem Punkt .
- Bestimme die Jacobi-Determinante von in jedem Punkt .
- Bestimme den Flächeninhalt des Bildes der Einheitskreisscheibe unter . Verwende, dass bijektiv ist.