Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung
-
wobei
-
eine
Funktion
auf einer offenen Teilmenge ist.
- Ein
euklidischer
Vektorraum.
- Die
Kurvenlänge
einer Kurve
-
- Ein
homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten
(über ).
- Die -fache
stetige Differenzierbarkeit
einer Abbildung
zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen
und .
- Eine harmonische Funktion
-
auf einer offenen Teilmenge .
Lösung
- Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine
Funktion
-
auf einem mehrpunktigen
Intervall
, die folgende Eigenschaften erfüllt.
- Es ist für alle .
- Die Funktion ist differenzierbar.
- Es ist für alle .
- Unter einem euklidischen Vektorraum versteht man einen reellen endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt.
- Unter der Kurvenlänge von versteht man
-
- Eine
Differentialgleichung
der Form
-
wobei
-
eine
Matrix
mit Einträgen ist, heißt homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
- Die -fache stetige Differenzierbarkeit liegt vor, wenn für jede Auswahl von Vektoren aus die
höhere Richtungsableitung
-
in Richtung existiert und stetig ist.
- Eine
zweimal differenzierbare Funktion
-
auf einer
offenen Teilmenge
heißt
harmonisch,
wenn
-
ist.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das
Lösungsverfahren
für ein durch ein Zentralfeld
-
gegebenes Anfangswertproblem.
- Der
Satz über implizite Abbildungen.
- Das
Ableitungskriterium
für die Lipschitz-Eigenschaft eines Vektorfeldes
-
Lösung
- Zu und einer Lösung
-
der eindimensionalen Differentialgleichung
-
ist
-
eine
Lösung des Anfangswertproblems
-
- Es sei offen und sei
-
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei und es sei die Faser durch . Das
totale Differential sei surjektiv.
Dann gibt es eine offene Menge
, ,
eine offene Menge und eine stetig differenzierbare Abbildung
-
derart, dass ist und eine Bijektion
-
induziert.
- Es sei ein
reelles
offenes Intervall,
eine
offene Menge
und
-
ein
Vektorfeld
auf derart, dass die
partiellen Ableitungen
nach existieren und
stetig
sind. Dann genügt
lokal einer Lipschitz-Bedingung.
Löse das
Anfangswertproblem
-
Lösung
Eine Stammfunktion zu
ist
-
Nach
[[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich
-
mit einer Konstanten
.
Die Anfangsbedingung führt auf
-
also ist
-
Die Lösung des Anfangswertproblems ist also
-
Wir betrachten im die
offenen Bälle
und .
Man gebe für jeden Punkt
-
einen expliziten offenen Ball mit Mittelpunkt an, der ganz innerhalb von liegt.
Lösung
Es sei . Dies bedeutet einerseits
-
und andererseits
-
also
-
Sei
-
Wir behaupten
-
sei dazu . Die erste Inklusion ergibt sich aus
-
und die zweite Inklusion ergibt sich aus
-
Beweise die Aussage, dass eine Folge im
(versehen mit der euklidischen Metrik)
genau dann konvergiert, wenn sämtliche Komponentenfolgen konvergieren.
Lösung
Es sei die Gesamtfolge konvergent gegen
.
Wir behaupten, dass die -te Komponentenfolge gegen konvergiert. Sei
(ohne Einschränkung)
und
vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Gesamtfolge gibt es ein
mit
für alle
.
Daher ist
Es seien nun alle Komponentenfolgen konvergent, wobei die -te Folge den Grenzwert besitzen möge, und sei ein
vorgegeben. Wir setzen
und behaupten, dass die Folge gegen konvergiert. Zu gibt es für jede Komponentenfolge ein derart, dass
für alle
gilt. Dann gilt für alle
-
die Beziehung
Skizziere die Funktion
-
Lösung Skizziere/x^2+y/Aufgabe/Lösung
Lösung
Es sei
,
das wir zu einer Orthogonalbasis von ergänzen. Es seien die Koordinatenfunktionen von zu dieser Basis. Dann ist
Formuliere den Lösungsansatz für Zentralfelder und beweise dessen Korrektheit.
Lösung
Es sei
eine
offene Teilmenge
in einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
. Es sei
-
ein
stetiges
Zentralfeld
zur stetigen Funktion
-
Es sei
und es sei
-
eine
Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung
-
Dann ist
-
eine
Lösung des Anfangswertproblems
-
Es ist
und
-
sodass eine Lösung des Anfangswertproblems vorliegt.
Löse die
Differentialgleichung
-
Lösung
Wegen
-
ist keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms der Differentialgleichung. Somit kann man nach
[[Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
den Ansatz
-
machen. Die linke Seite wird dann zu
Der Vergleich
-
liefert
-
-
also
-
und
-
also
Somit ist
-
eine Lösung der Differentialgleichung.
Es sei
ein Intervall, ein
euklidischer Vektorraum
und
-
eine
differenzierbare Kurve.
Zeige, dass zwischen dem
totalen Differential
und der
Kurven-Ableitung
die Beziehung
-
besteht.
Lösung
Die Kurvendifferenzierbarkeit im Punkt bedeutet nach
Definition .
die Existenz des
Limes
-
Diese Existenz ist
(entsprechend
Satz 14.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)))
dazu äquivalent, dass man
-
mit einem Vektor
und einer in
stetigen Abbildung
mir
schreiben kann
(wobei
sein muss).
Dabei kann man hinten durch ersetzen
(wobei man auch abwandeln muss).
Diese lineare Approximierbarkeit ist aber die Definition der
totalen Differenzierbarkeit,
und zwar ist die lineare Abbildung durch
-
gegeben. Somit ist
-
Es sei ein Polynom in zwei Variablen der Bauart
-
Zeige ohne Differentialrechnung, dass im Nullpunkt ein
isoliertes lokales Minimum
besitzt. Bestimme in Abhängigkeit der Koeffizienten ein
derart, dass die Einschränkung von auf außerhalb des Nullpunktes echt positiv ist.
Lösung
Für jedes mit
und
ist
wobei die letzte Abschätzung für Punkte mit
gilt. Es seien Koeffizienten und es sei das Maximum der Beträge der . Wir setzen
-
Dann ist für
mit
Insbesondere liegt im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert vor.
Bestimme die
kritischen Punkte
der Funktion
-
Lösung
Wir betrachten die Abbildung
-
- Zeige, dass nicht
injektiv
ist.
- Zeige, dass die Einschränkung von auf injektiv ist.
- Bestimme die
Jacobi-Matrix
zu in einem Punkt
.
- Bestimme die
kritischen Punkte
von . Welches geometrische Gebilde bilden diese?
- Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechteckes
-
Lösung
- Die beiden Punkte
und
werden beide auf abgebildet, die Abbildung ist also nicht injektiv.
- Wir machen den Ansatz
-
Aus der zweiten Gleichung folgt
(wegen
)
-
und daraus mit der ersten Gleichung
-
Die Ableitung dieser Funktion nach ist
-
Dies ist stets positiv, da alle drei Summanden positiv sind. D.h. ist streng wachsend und so kann es zu gegebenem höchstens eine Lösung für geben, was wegen der ersten Bedingung auch eindeutig festlegt.
- Die Jacobi-Matrix ist
-
- Die Determinante der Jacobi-Matrix ist
-
Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn diese Determinante ist, was also bei
-
der Fall ist. Daher bilden die kritischen Punkten den Einheitskreis.
- Die Abbildung ist auf dem Rechteck injektiv und darauf überall regulär, daher ist nach
[[Diffeomorphismus/Transformationsformel/Kompakte Teilmengen/Volumen/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Diffeomorphismus/Transformationsformel/Kompakte Teilmengen/Volumen/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
Lösung
Wir denken uns den Eimer als Ausschnitt aus einem Kegel mit runder Grundseite. Wenn der Eimer bis zur Höhe gefüllt ist, so ist das Wasservolumen darin nach
[[Kegel/Über messbarer Basis/Maßformel/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Kegel/Über messbarer Basis/Maßformel/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
gleich
-
Die Wasserzufuhr in den Eimer hängt vom oberen Querschritt ab. Bei einer Regenmenge von cm ist dies
-
Dies führt zur Bedingung
-
bzw.
-
bzw.
-
Also ist
-
Berechne das Integral zur Funktion
-
über dem Einheitswürfel .
Lösung
Aufgrund des Satzes von Fubini ist