Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 27/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine wachsende Funktion und ${}b\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Folge ${}f(n)$, ${}n\in \mathbb {N}$, genau dann gegen ${}b$ konvergiert, wenn

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)=b$

gilt, wenn also die Funktion für ${}x\rightarrow +\infty$ den Grenzwert ${}b$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}I$ ein Intervall, ${}r$ ein (uneigentlicher) Randpunkt von ${}I$ und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass die Existenz des uneigentlichen Integrals

$\int _{a}^{r}f(t)\,dt$

nicht vom gewählten Startpunkt ${}a\in I$ abhängt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}I={]r,s[}$ ein beschränktes offenes Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion, die sich auf ${}[r,s]$ stetig fortsetzen lässt. Zeige, dass dann das uneigentliche Integral

$\int _{r}^{s}f(t)\,dt$

existiert und mit dem bestimmten Integral

$\int _{r}^{s}f(t)\,dt$

übereinstimmt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Formuliere und beweise Rechenregeln für uneigentliche Integrale (analog zu Lemma 23.15).

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-3x+5}{x^{4}+2x^{3}+5x+8}}\,dx$

existiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}I=[a,b]$ ein beschränktes Intervall und es sei

$f\colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine fallende Folge in ${}I$ mit dem Grenzwert ${}a$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine wachsende Folge in ${}I$ mit dem Grenzwert ${}b$. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt$ existiert. Zeige, dass die Folge

$w_{n}=\int _{x_{n}}^{y_{n}}f(t)\,dt$

gegen das uneigentliche Integral konvergiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne die Energie, die nötig wäre, um die Erde, ausgehend von der jetzigen Lage relativ zur Sonne, unendlich weit von der Sonne zu entfernen.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}\,dx$

existiert und berechne es im Falle der Existenz.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine unbeschränkte, stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

derart, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{\infty }f(t)\,dt$ existiert.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt$

existiert und berechne es im Falle der Existenz.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{3}-3x+5}{x^{4}+2x^{3}+5x+8}}\,dx$

existiert.

Aufgabe (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx$

existiert.

(Versuche nicht, eine Stammfunktion für den Integranden zu finden.)

Aufgaben zum Hochladen

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Erstelle für die rationale Funktion ${}f(x)={\frac {x-2}{x^{2}(x-3)}}$ eine Skizze, die die reelle Partialbruchzerlegung dieser Funktion darstellt.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Man fertige eine Skizze an, die die eulersche Konstante als einen Flächeninhalt darstellt.

Fußnoten

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