Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 40
- Übungsaufgaben
Bestimme die[1] Lösung des Anfangswertproblems
Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems
Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems zum Vektorfeld
(dabei seien fixierte reelle Zahlen).
Wie löst man eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem stetigen ortsunabhängigen Vektorfeld
Es sei
ein Vektorfeld. Zeige, dass eine konstante Abbildung
genau dann eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ist, wenn für alle ist.
Kommentar:
Rein formal ist eine Äquivalenz zu zeigen. Diese kann wie üblich durch Beweis der beiden Teilimplikationen gezeigt werden. Für die erste nehmen wir an, dass das konstante mit Wert eine Lösung ist. Hiermit müssen wir zeigen, dass ist für alle . Da eine Lösung ist, muss es natürlich die Differentialgleichung erfüllen. Es muss also
sein. Nun ist konstant gleich und seine Ableitung in jeder Komponente Null. Deshalb bekommen wir
für alle .
Andererseits, wenn ist für alle , dann erfüllt das , das konstant den Wert annimmt, die Differentialgleichung. Das wird durch die Einsetzung
bestätigt.
Das ganze kann im Windmodell interpretiert werden. Falls es an einem Ort im Raum für alle Zeiten windstill ist, bleibt die Position des Telchens dort (beschrieben durch die Funktion ) unverändert und andersherum, wenn ein Teilchen an einem Ort für die Zeiten ruht, dann ist es dort auch windstill.
Es sollte noch darüber nachgedacht werden, dass wenn ein Anfangswert wie zum Beispiel mit und zur Differentialgleichung hinzukommt, die Funktion konstant gleich keine Lösung für das Anfangswertproblem sein kann.
Löse das Differentialgleichungssystem
mit der Anfangsbedingung
zum Zeitpunkt .
Löse das Differentialgleichungssystem
mit der Anfangsbedingung
zum Zeitpunkt .
Es sei
eine Lösung der zeitunabhängigen Differentialgleichung
zum Vektorfeld
Zeige, dass auch
zu jedem eine Lösung ist.
Es sei ein Untervektorraum in einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum . Es sei
ein Vektorfeld auf mit der Eigenschaft, dass für alle gilt. Zeige, dass jede Lösung zur Differentialgleichung
ganz in einer Teilmenge der Form (einem affinen Unterraum von ) verläuft.
Es sei ein euklidischer Vektorraum, ein fixierter Vektor und
ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft
für alle . Es sei
eine Lösung zur Differentialgleichung
Zeige, dass auch
eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.
Es sei ein entkoppeltes Differentialgleichungssystem zum Vektorfeld
gegeben. Erläutere, wie sich die Lösungen der einzelnen Differentialgleichungen zur Gesamtlösung verhalten, wie dabei die Definitionsintervalle der Lösungen zusammenhängen und was man über die Eindeutigkeit von Lösungen aussagen kann.
Kommentar:
Wir sollten uns zu Beginn klar machen, dass das Differntialgleichungssystem zum vorliegenden Vektorfeld bereits bezüglich der Standartbasis des entkoppelt ist. Das heißt, dass die -te Koordinate der Ableitung der Lösungsfunktion, , nur von der -ten Koordiante der Lösungsfunktion, , abhängt. Dabei ist die Koordinate bezüglich der Standardbasis gemeint. Wir müssen aber beachten, dass die alle von demselben Zeitparameter abhängen. Hierzu kommen wir gleich. Wie im Beispiel erwähnt, muss nun für jede Koordinate lediglich die eindimensionale Differntialgleichung
gelöst werden. Dabei können diese natürlich von verschienden Typen sein, z.B. in einer Koordinate ist es eine gewöhnliche homogene Differntialgleichung und in einer anderen Koordinate ist es eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Falls wir die Differentialgleichungen in jeder Koordinate lösen können, erhalten wir die Funktionen
Dabei sind offene Intervalle, auf denen die einzelnen Lösungen existieren. Die Gesamtlösung besteht nun Koordinatenweise aus den Einzellösungen
Das Intervall , auf dem die Gesamtlösung existiert, ist dabei gleich dem Schnitt über die einzelenen Lösungsintervall der Koordianten, . Dies liegt daran, dass sich, wie zu Beginn erwähnt, alle Koordinaten den Zeitparameter teilen. Dies führt auch dazu, dass wenn zwei Einzellösungen nur zu unterschiedlichen Zeiten existieren, die Gesamtlösung des Systems leer ist.
Falls ein Anfangswert vorgegeben ist und die koordiantenweisen Einzellösungen dadurch eindeutig bestimmt sind (dies ist immer der Fall, wenn diese von bereits bekannten Typen sind), dann ist auch die Gesamtlösung aufgrund der Eindeutigkeit der Basisdarstellung eindeutig.
Finde alle Lösungen des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld
a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen
(zu fixierten ) Lösungskurven für die Differentialgleichung (bei )
sind.
b) Man gebe eine Lösung für das Anfangswertproblem
zu dieser Differentialgleichung an.
Kommentar:
Zuerst einmal ist zu beachten, dass hier und die Koordinaten des Ortes sind, wo hingegen in der Definition des Zentralfeldes mit der gesamte Ortsverktor bezeichnet wird. Es liegt ein Zentralfeld mit der reellwertigen und stetigen Funktion
vor. Das heißt, hier haben wir den Sonderfall, dass diese unabhängig vom Ort ist. Deshalb wird es auf das Lösen einer eindimensionalen gewöhnlichen Differntialgleichung hinauslaufen. Die Lösung wird aber am Ende in die Richtung des gegebenen Startvektors verlaufen, was charakteristisch für Zentralfelder ist. Wir benutzen Lemma 40.13 und müssen hierfür die eindimensionale Differentialgleichung
mit Anfangswert lösen. Diese ist homogen und da die Stammfunktion von ist, ergibt sich mit Satz 32.2, dass mit (dieses ist nicht das selbe wie in der Stammfunktion) die Lösungen sind. Nutzt man die Anfangsbedingung ergibt sich . Damit ist die eindeutige Lösung. Insgesamt haben wir als Lösung für unserer Aufgabe somit
Denkt man dabei an ein Teilchen, dass sich zum Zeitpunkt Null an der Stelle befindet und aufgrund des Zentralfeldes bewegt wird, beschreibt die Lösung den Ort im zum Zeitpunkt . Anhand der Lösung ist auch zu erkennen, dass es sich nur in Richtung des Ortsvektors, also auf der Geraden, die durch den Ursprung und geht, bewegt. Das ist bei einem Zentralfeld auch zu erwarten.
Es sei ein Vektorfeld der Form
mit einer stetigen Funktion
gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei und es sei
eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung
Zeige, dass
eine Lösung der Differentialgleichung
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Löse das Differentialgleichungssystem
mit der Anfangsbedingung
zum Zeitpunkt .
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen und
ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Es sei
eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gebe zwei Zeitpunkte in mit . Zeige, dass es dann eine auf ganz definierte Lösung dieser Differentialgleichung gibt.
- Fußnoten
- ↑ Mit dieser Formulierung wird hier und im Folgenden implizit benutzt, dass die Lösung eindeutig ist. In den meisten der hier gestellten Aufgaben ergibt sich die Eindeutigkeit direkt, sie ist aber nicht Teil der Aufgabenstellung.
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