- Übungsaufgaben
Von einer Bewegung
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sei der Geschwindigkeitsverlauf
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bekannt. Ferner sei
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bekannt. Bestimme .
Zeige, dass das Integral zu einer
stetigen Kurve
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in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum unabhängig von der gewählten Basis ist.
Wir betrachten die Abbildung
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Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der
Basis
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Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über , und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.
Bestimme das
Wegintegral
zum eindimensionalen
Vektorfeld
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und zum Weg
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Es sei
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gegeben. Berechne das
Wegintegral
längs dieses Weges zum
Vektorfeld
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Für die Berechnung des Wegintegrals benötigen wir die Ableitung des Weges. Diese ist durch komponentenweises Differenzieren
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Hiermit bekommen wir, durch Einsetzen in die Formel zur Berechnung des Wegintegrals,
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Nach Ausmultiplizieren und dem Ausrechnen des Skalarproduktes, erhalten wir
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was sich nun leicht berechnen lässt.
Diskutieren und Fragen
Es sei
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gegeben. Berechne das
Wegintegral
längs dieses Weges zum
Vektorfeld
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Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld
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längs des Weges
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Es sei
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gegeben. Berechne das
Wegintegral
längs dieses Weges zum
Vektorfeld
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Es sei
-
gegeben. Berechne das
Wegintegral
längs dieses Weges zum
Vektorfeld
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Berechne das
Wegintegral
zur archimedischen Spirale
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im
Vektorfeld
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Es seien
natürliche Zahlen.
Wir betrachten die
stetig differenzierbare Kurve
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Berechne das
Wegintegral längs dieses Weges zum
Vektorfeld
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Es sei
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gegeben. Berechne das
Wegintegral
längs dieses Weges zu den folgenden
Vektorfeldern.
a) ,
b) ,
c) ,
d) .
Benutzen wir die Definition des
Wegintegrals
und die Tatsache, dass das Vektorfeld die Identität ist, erhalten wir
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Würde das Skalarprodukt als Multiplikation interpretiert werden, sieht der Ausdruck unter dem Integral der Ableitung einer quadrierten Funktion sehr ähnlich. Denn für eine differenzierbare Funktion
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gilt mit Hilfe der Kettenregel
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Der Vorfaktor müsste nur noch angepasst werden.
Dass dieser Zusammenhang auch für das Skalarprodukt stimmt, zeigen wir durch nachrechnen.
In der Standardbasis ist mit den Koordinatenfunktionen und .
Damit erhalten wir
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Durch entsprechende Anpassung des Vorfaktors wissen wir demnach, dass eine Stammfunktion des Ausdrucks unter dem Integral ist. Wir erhalten folglich
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Diskutieren und Fragen
Es sei eine
offene Teilmenge
in einem
euklidischen Vektorraum,
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stetige Vektorfelder
und
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eine
(stückweise)
stetig differenzierbare Kurve.
Zeige die folgenden Aussagen.
- Für ist
-
- Es ist
-
wobei den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.
- Wenn
-
ein weiterer
(stückweise)
stetig differenzierbarer Weg mit
ist, so ist
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wobei den aneinander gelegten Weg bezeichnet.
- Aufgaben zum Abgeben
Wir betrachten die Abbildung
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Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der
Basis
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Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über , und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.
Bestimme das
Wegintegral
zum eindimensionalen
Vektorfeld
-
und zum Weg
-
Es sei
-
gegeben. Berechne das
Wegintegral
längs dieses Weges zum
Vektorfeld
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Wir betrachten die
differenzierbare Kurve
-
und das
Vektorfeld
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a) Berechne das
Wegintegral .
b) Es sei
-
und
.
Berechne
(unabhängig von a))
Wir betrachten das
Vektorfeld
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Bestimme das
Wegintegral
längs des gegen den Uhrzeigersinn einmal durchlaufenen Einheitsquadrates.
Wir betrachten das
Vektorfeld
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Bestimme das
Wegintegral
zu diesem Vektorfeld längs des linearen Weges von nach .
Wir betrachten das konstante
Vektorfeld
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Zeige, dass für zwei Punkte
und jeden
stetig differenzierbaren Weg
mit
und
das
Wegintegral
gleich ist.