Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 56/kontrolle
- Übungsaufgaben
Es sei
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl mit
für alle gibt.
Zeige, dass eine lineare Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen Lipschitz-stetig ist.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und
ein Vektorfeld auf . Zeige die folgenden Aussagen.
a) Wenn (als Abbildung) Lipschitz-stetig ist, so genügt das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung.
b) Wenn das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, so sind für jedes feste die Abbildungen
Lipschitz-stetig.
c) Man gebe Beispiele, die zeigen, dass die Implikationen aus a) und b) nicht umkehrbar sind.
Es sei
ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle und die Beziehung gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems
ganz in verläuft.
Bestimme in Beispiel 56.7 eine explizite Formel für die Iterationen .
Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung .
Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
mit der Anfangsbedingung und .
Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung und .
Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung und .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten das Vektorfeld
Bestimme für jedes die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes
Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
mit der Anfangsbedingung und .
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung und .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld
Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.