Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesung 42

Lineare Transformationen

Entkoppelte Differentialgleichungssysteme kann man lösen, indem man die einzelnen eindimensionalen Komponenten löst. Manchmal kann eine Differentialgleichung erst durch eine lineare Transformation entkoppelt werden. Eine lineare Transformation ist einfach eine bijektive lineare Abbildung ${}\varphi$ zwischen zwei Vektorräumen ${}V$ und ${}W$. Zu einem Vektorfeld ${}F$ auf ${}V$ möchte man ein Vektorfeld ${}G$ auf ${}W$ definieren derart, dass sich die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichungssysteme entsprechen. Dies geschieht durch ${}G(t,y)=\varphi (F(t,\varphi ^{-1}(y)))$. Zu einem Punkt ${}y\in W$ betrachtet man also den Urbildpunkt ${}\varphi ^{-1}(y)$, wertet dort (bei unverändertem Zeitpunkt ${}t$) das Vektorfeld ${}F$ aus und transportiert das Ergebnis mittels ${}\varphi$ wieder nach ${}W$. Besonders übersichtlich wird die Situation durch das folgende kommutative Diagramm.

${\begin{matrix}I\times V&{\stackrel {F}{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!\operatorname {Id} \times \varphi \downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\I\times W&{\stackrel {G}{\longrightarrow }}&W&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Lemma

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

ein Isomorphismus zwischen den endlichdimensionalen reellen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ und sei

$F\colon I\times V\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto F(t,x),$

ein Vektorfeld auf ${}V$. Es sei ${}G$ das durch ${}G(t,y):=\varphi (F(t,\varphi ^{-1}(y)))$ definierte Vektorfeld auf ${}W$.

Dann ist

$\alpha \colon J\longrightarrow V$

genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems

$x'=F(t,x){\text{ mit }}x(t_{0})=x_{0},$

wenn ${}\varphi \circ \alpha$ eine Lösung des Anfangswertproblems

$y'=G(t,y){\text{ mit }}y(t_{0})=\varphi (x_{0})$

ist.

Beweis

Da mit ${}\varphi$ auch die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ eine lineare Isomorphie ist, genügt es, die eine Richtung zu zeigen. Es sei also ${}\alpha$ eine Lösung des Anfangswertproblems zu ${}F$. Dann gelten unter Verwendung von Lemma 37.11 für ${}\varphi \circ \alpha$ die Gleichheiten

${}{\begin{aligned}{\left(\varphi \circ \alpha \right)}'(t)&=\varphi (\alpha '(t))\\&=\varphi (F(t,\alpha (t)))\\&=(\varphi \circ F)(t,\alpha (t))\\&=(\varphi \circ F\circ (\operatorname {Id} \times \varphi ^{-1}))(t,(\varphi \circ \alpha )(t))\\&=G(t,(\varphi \circ \alpha )(t)).\end{aligned}}$

Ferner gilt

${}(\varphi \circ \alpha )(t_{0})=\varphi (\alpha (t_{0}))=\varphi (x_{0})\,.$

$\Box$

Wenn das Vektorfeld ${}F$ nur auf einer offenen Menge ${}U\subseteq I\times V$ definiert ist, so ist entsprechend das Vektorfeld ${}G$ auf (der ebenfalls offenen Menge) ${}(\operatorname {Id} \times \varphi )(U)\subseteq I\times W$ definiert. Das Lemma gilt auch in dieser Situation.

Beispiel

Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung zum Vektorfeld

${}F(t,x,y)=\left(tx+t^{3},y^{2}\right)\,.$

Dieses System ist entkoppelt und besteht aus den beiden einzelnen Gleichungen (in jeweils einer Raumvariablen)

$x'=tx+t^{3}{\text{ und }}y'=y^{2}.$

Eine Lösung der linken Differentialgleichung ist ${}x(t)=-t^{2}-2$, eine Lösung der rechten ist ${}y(t)=-t^{-1}$. Daher ist

${\begin{pmatrix}-t^{2}-2\\-t^{-1}\end{pmatrix}}$

eine Lösung zu ${}F$. Wir betrachten nun die lineare Transformation

${}\varphi ={\begin{pmatrix}4&3\\-3&-2\end{pmatrix}}\,$

mit der inversen Matrix

${}\varphi ^{-1}={\begin{pmatrix}-2&-3\\3&4\end{pmatrix}}\,.$

Das transformierte Vektorfeld ist

${}{\begin{aligned}G(t,u,v)&=\varphi (F(t,\varphi ^{-1}(u,v)))\\&=\varphi (F(t,-2u-3v,3u+4v))\\&=\varphi (t(-2u-3v)+t^{3},(3u+4v)^{2})\\&=\varphi (t(-2u-3v)+t^{3},9u^{2}+24uv+16v^{2})\\&=(4(t(-2u-3v)+t^{3})+3(9u^{2}+24uv+16v^{2}),-3(t(-2u-3v)+t^{3})-2(9u^{2}+24uv+16v^{2}))\\&=(-8tu-12tv+4t^{3}+27u^{2}+72uv+48v^{2},6tu+9tv-3t^{3}-18u^{2}-48uv+32v^{2}).\,\end{aligned}}$

Für die zu ${}G$ gehörende Differentialgleichung

${}{\begin{pmatrix}u'\\v'\end{pmatrix}}=G(t,u,v)\,$

ist gemäß Lemma 42.1

${}\varphi ({\begin{pmatrix}-t^{2}-2\\-t^{-1}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-4t^{2}-8-3t^{-1}\\3t^{2}+6+2t^{-1}\end{pmatrix}}\,$

eine Lösung.

Für eine Verallgemeinerung von Lemma 42.1, wenn ${}\varphi$ nicht linear, aber bijektiv und total differenzierbar ist, siehe Aufgabe 53.36.

Lineare Differentialgleichungssysteme

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv\,,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),$

sind, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.

Es handelt sich also um die Differentialgleichung zum Vektorfeld

$f\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v)\longmapsto f(t,v)=(M(t))v={\begin{pmatrix}a_{11}(t)v_{1}+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}\\\vdots \\a_{n1}(t)v_{1}+\cdots +a_{nn}(t)v_{n}\end{pmatrix}}.$

Dieses Vektorfeld ist zu jedem fixierten Zeitpunkt ${}t\in I$ eine lineare Abbildung

${\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{n},\,v\longmapsto M(t)v.$

Ausgeschrieben liegt das Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}v'_{1}\\\vdots \\v'_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}(t)v_{1}+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}\\\vdots \\a_{n1}(t)v_{1}+\cdots +a_{nn}(t)v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}(t)&\cdots &a_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(t)&\cdots &a_{nn}(t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

vor. Es gibt immer die Nulllösung, also die konstante Abbildung mit dem Nullvektor als Wert, diese nennt man auch die triviale Lösung.

Für lineare Differentialgleichungssysteme gibt es wieder eine inhomogene Variante.

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv+z\,,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),$

sind und wobei

$z\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto z(t)={\begin{pmatrix}z_{1}(t)\\\vdots \\z_{n}(t)\end{pmatrix}},$

eine Abbildung ist, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem. Die Abbildung ${}z$ heißt dabei Störabbildung.

Insgesamt liegt das Differentialgleichungssystem

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v'_{1}\\\vdots \\v'_{n}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}a_{11}(t)v_{1}+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}+z_{1}(t)\\\vdots \\a_{n1}(t)v_{1}+\cdots +a_{nn}(t)v_{n}+z_{n}(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a_{11}(t)&\cdots &a_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(t)&\cdots &a_{nn}(t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z_{1}(t)\\\vdots \\z_{n}(t)\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

vor.

Die explizite Lösbarkeit eines solchen Systems hängt natürlich von der Kompliziertheit der beteiligten Funktionen ${}a_{ij}$ und ${}z_{i}$ ab. In der folgenden Situation kann man das System auf einzelne eindimensionale lineare inhomogene Differentialgleichungen zurückführen und dadurch sukzessive lösen.

Lemma

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und es liege eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung der Form

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}\,$

mit stetigen Funktionen ${}a_{ij}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}z_{i}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und den Anfangsbedingungen

$v_{i}(t_{0})=w_{i}\in \mathbb {R} {\text{ für }}i=1,\ldots ,n\,\,(t_{0}\in I)$

vor.

Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen, nämlich

$v_{n}'=a_{nn}(t)v_{n}+z_{n}(t){\text{ mit }}v_{n}(t_{0})=w_{n},$

$v_{n-1}'=a_{n-1\,n-1}(t)v_{n-1}+a_{n-1\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-1}(t){\text{ mit }}v_{n-1}(t_{0})=w_{n-1},$

$v_{n-2}'=a_{n-2\,n-2}(t)v_{n-2}+a_{n-2\,n-1}(t)v_{n-1}(t)+a_{n-2\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-2}(t){\text{ mit }}v_{n-2}(t_{0})=w_{n-2},$

$\vdots$

$v_{1}'=a_{11}(t)v_{1}+a_{12}(t)v_{2}(t)+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}(t)+z_{1}(t){\text{ mit }}v_{1}(t_{0})=w_{1},$

löst.

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Die Lösungen eines solchen linearen Differentialgleichungssystems in oberer Dreiecksgestalt stehen also in Bijektion zu den Lösungen der ${}n$ linearen inhomogenen Differentialgleichungen in einer Ortsvariablen, wobei die Störfunktionen jeweils mit den anderen Lösungen in der beschriebenen Weise zusammenhängen. Insbesondere übertragen sich Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen.

Auch wenn man ein homogenes System lösen möchte, so muss man in den Einzelschritten inhomogene Differentialgleichungen lösen.

Beispiel

Wir betrachten das homogene lineare Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{t}}&t-1\\0&{\frac {2t}{t^{2}+1}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

für ${}t>0$. Die zweite Zeile dieses Systems bedeutet

${}y'={\frac {2t}{t^{2}+1}}\cdot y\,,$

das ist eine homogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen. Ihre Lösungen sind gemäß Satz 32.2 gleich

${}y(t)=c{\left(t^{2}+1\right)}=ct^{2}+c\,$

mit einem ${}c\in \mathbb {R}$. Die erste Zeile des Systems führt daher auf

${}{\begin{aligned}x'&={\frac {1}{t}}x+(t-1)y\\&={\frac {1}{t}}x+c(t-1){\left(t^{2}+1\right)}\\&={\frac {1}{t}}x+c{\left(t^{3}-t^{2}+t-1\right)}.\end{aligned}}$

Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen. Die zugehörige homogene Gleichung ${}x'={\frac {1}{t}}x$ besitzt ${}t$ als eine Lösung. Nach Satz 32.10 müssen wir eine Stammfunktion von

${}c{\frac {t^{3}-t^{2}+t-1}{t}}=c{\left(t^{2}-t+1-{\frac {1}{t}}\right)}\,$

finden, eine solche ist

$c{\left({\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2}+t-\ln t\right)}+d.$

Daher ist

$t{\left(c{\left({\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2}+t-\ln t\right)}+d\right)}={\frac {c}{3}}t^{4}-{\frac {c}{2}}t^{3}+ct^{2}-ct\ln t+dt\,$

die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung. Also ist die allgemeine Lösung des Systems gleich

${\begin{pmatrix}{\frac {c}{3}}t^{4}-{\frac {c}{2}}t^{3}+ct^{2}-ct\ln t+dt\\ct^{2}+c\end{pmatrix}}.$

Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten

Falls die Funktionen ${}a_{ij}$ alle konstant sind, so spricht man von einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, welche im Wesentlichen mit Mitteln der linearen Algebra gelöst werden können. Dazu ist es sinnvoll, von vornherein auch komplexe Koeffizienten zuzulassen.

Definition

Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv\,,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix mit Einträgen ${}a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv+z\,,$

wobei ${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$ eine Matrix mit Einträgen ${}a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist und

$z\colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$

eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Die Störfunktion muss also nicht konstant sein.

Bemerkung  

Es sei

${}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y+f(t)=0\,$

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten, d.h. die ${}a_{i}$ sind reelle (oder komplexe) Zahlen. Das gemäß Lemma 41.5 zugehörige Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})\end{pmatrix}}\,$

mit

${}v_{i}:=y^{(i)}\,$

und

$h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1}):=-a_{n-1}v_{n-1}-\cdots -a_{1}yv_{1}-a_{0}v_{0}-f(t)\,$

wird in dieser Situation zum linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

${\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &\ldots &0\\0&0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &\ldots &0&1&0\\0&0&\ldots &\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\\vdots \\0\\-f(t)\end{pmatrix}}\,.$

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