- Es sei
ein Vektorraum über
mit einem Skalarprodukt
und der zugehörigen Norm
. Dann gilt die Abschätzung
-
![{\displaystyle {}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa5d3b67f8b383192d7367443b9ab3a820d4cbf)
für alle
.
- Es sei
-
eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen
-Vektorraum. Dann ist
genau dann trigonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom von
in Linearfaktoren zerfällt.
- Es sei
offen und
eine Abbildung, so dass für
die zweiten Richtungsableitungen
und
existieren und stetig sind. Dann gilt -
- Das Volumen des durch
bestimmten Rotationskörpers
ist
-
![{\displaystyle {}\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(t)^{2}\,dt\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d11b2e6ecbe8693f5779524065b79434e4c7560)
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}L&=\int _{0}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert dt\\&=\int _{0}^{b}\Vert {\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\1\end{pmatrix}}\Vert dt\\&=\int _{0}^{b}{\sqrt {\sin ^{2}t+\cos ^{2}t+1}}dt\\&=\int _{0}^{b}{\sqrt {2}}dt\\&={\sqrt {2}}b.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31035afa4d502c0cd085a7c9534c2642ba38d49c)
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{-1}^{1}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle \\&=\int _{-1}^{1}\left\langle {\begin{pmatrix}e^{t}\\t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\e^{t}\end{pmatrix}}\right\rangle dt\\&=\int _{-1}^{1}e^{t}+te^{t}dt\\&={\left(te^{t}\right)}{|}_{-1}^{1}\\&=e+e^{-1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b958cbbe8af03f0a81668fab14b4a3718c6e4e7)
Wir machen den Ansatz
-
aufgrund der Anfangswertbedingungen ist
und
. Es ist
und
.
Aus der Gleichung
-
![{\displaystyle {}\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_{n}t^{n-2}={\left(\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}t^{n-1}\right)}^{2}+2{\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b5af1c8b62ef19c6b36ae2b4e1b2b41c8a7f75)
lassen sich die Koeffizienten
bestimmen.
Koeffizientenvergleich zu
ergibt
-
![{\displaystyle {}2a_{2}=a_{1}^{2}+2a_{0}=1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2576f28344f746d46e4dc98e42f082e4cb69669e)
also ist
.
Koeffizientenvergleich zu
ergibt
-
![{\displaystyle {}6a_{3}=4a_{1}a_{2}+2a_{1}=4\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4aacdeb34b562ac5c02a18896a3226afec3939)
also ist
.
Koeffizientenvergleich zu
ergibt
-
![{\displaystyle {}12a_{4}=4a_{2}^{2}+6a_{1}a_{3}+2a_{2}=1+4+1=6\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf4d8cac5441e5237774305057e94224bb7834b0)
also ist
.
Daher ist
-
die Lösung des Anfangswertproblems bis zur Ordnung
.
Dies folgt direkt aus
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}v'(t)&={\begin{pmatrix}ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}'\\&={\begin{pmatrix}(ce^{\lambda t}u_{1})'\\\vdots \\(ce^{\lambda t}u_{n})'\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\lambda ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\\lambda ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}\\&=\lambda ce^{\lambda t}{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\\&=M{\left(ce^{\lambda t}{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\right)}\\&=M{\begin{pmatrix}ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a03c39548fd08519d540f7b5b7f6304342210d)
Die relevanten Ableitungen sind
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial x}}=e^{x-y^{2}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f826450c0e03053039000bcc8b158c898277b89)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial y}}=-2ye^{x-y^{2}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80c3a2e845fb072c9997e3c33d5fcd3cc173ca7e)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x}}=e^{x-y^{2}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a00b9cf7734b0556281efee78d4954c7d3e9fe6)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}y}}={\left(-2+4y^{2}\right)}e^{x-y^{2}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42f31edc89c4a1b70b88f4ca757d9c40ed1cdb98)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=-2ye^{x-y^{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26156149e986f1fcc906cbe7373b3d8d283fbb5d)
Somit sind die Werte der relevanten Ableitungen im Punkt
gleich
-
![{\displaystyle {}f(1,1)=1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfca1f006b9a9efeb6aee01b4dba519d90cb432b)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial x}}(1,1)=1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebebd5b22fc85f6c758f641adbd11fe6a7ad9023)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial y}}(1,1)=-2\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ccf17225bfeea5dfef536152f1c7b8c354701bc)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x}}(1,1)=1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55de1e9590539ca7061e004ffee1748e0f2c11c8)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}y}}(1,1)=2\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079ebaaebcacd59bac59727ba92ae2df145f8f48)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(1,1)=-2\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d073808138d46ac5eb4e1fd732bb8617cc2895d3)
Daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung zwei gleich
-
Es seien
die Markierungen der möglichen Intervallunterteilungen. Der Flächeninhalt der zugehörigen maximalen unteren Treppenfunktion von
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}g(x,y)&=x(1-x^{2})+(y-x)(1-y^{2})\\&=x-x^{3}+y-y^{3}-x+xy^{2}\\&=-x^{3}-y^{3}+xy^{2}+y.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66da6f3e0b2d5765c0c8784603375fd6fddce04)
Die partiellen Ableitungen davon sind
-
Wir bestimmen die kritischen Punkte. Aus der ersten Gleichung folgt
-
![{\displaystyle {}y={\sqrt {3}}x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ce8de2ce661dbaed8abab25ccfcfa644c032a7)
(den negativen Fall kann man ausschließen).
Wir setzen
in die zweite Gleichung ein und erhalten die Bedingung
-
![{\displaystyle {}-1=-3y^{2}+{\frac {2}{\sqrt {3}}}y^{2}={\frac {-3{\sqrt {3}}+2}{\sqrt {3}}}y^{2}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb66adff7d2ab1c202aec4e561a32d30d184700)
woraus
-
![{\displaystyle {}y={\frac {3^{1/4}}{\sqrt {3{\sqrt {3}}-2}}}={\frac {3^{1/4}\cdot 3^{1/4}}{3^{1/4}\cdot {\sqrt {3{\sqrt {3}}-2}}}}={\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40755775aa0ecf3225caec6705ebf88da0caa605)
folgt. Daher ist
-
![{\displaystyle {}x={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}={\frac {1}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4394549c7cb399a915ea9727aaff16c7c381edc8)
und der einzige kritische Punkt ist
-
Die Hesse-Matrix von
ist
-
Im kritischen Punkt ist der Eintrag links oben negativ. Die Determinante ist
-
![{\displaystyle {}36xy-12x^{2}-4y^{2}=x^{2}{\left(36{\sqrt {3}}-12-4{\sqrt {3}}^{2}\right)}=x^{2}{\left(36{\sqrt {3}}-24\right)}>0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ad863e6fddc10eacc73ae2be32db65f0a2f1f8)
positiv, so dass die Hesse-Matrix negativ definit ist und daher im kritischen Punkt ein Maximum vorliegt. Da es auch in einer geeigneten
(kleinen) offenen Umgebung des abgeschlossenen Definitionsbereiches keinen weiteren kritischen Punkt gibt, liegt ein absolutes Maximum vor. Der Wert ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}&=-x^{3}-y^{3}+xy^{2}+y\\&=x{\left(-x^{2}-3{\sqrt {3}}x^{2}+3x^{2}+{\sqrt {3}}\right)}\\&=x{\left(x^{2}{\left(2-3{\sqrt {3}}\right)}+{\sqrt {3}}\right)}\\&={\frac {1}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}{\left({\frac {1}{9-2{\sqrt {3}}}}{\left(2-3{\sqrt {3}}\right)}+{\sqrt {3}}\right)}\\&={\frac {1}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}{\frac {{\left(2-3{\sqrt {3}}\right)}{\left(9+2{\sqrt {3}}\right)}+69{\sqrt {3}}}{69}}\\&={\frac {1}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}{\frac {-23{\sqrt {3}}+69{\sqrt {3}}}{69}}\\&={\frac {1}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\\&={\frac {2}{\sqrt {9{\sqrt {3}}-6}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09946bc460133ece676c93799b0487d37c7f7e07)
a) Die Jacobi-Matrix ist
-
b) Die Jacobi-Matrix im Nullpunkt ist
-
Diese Matrix hat den Rang
, so dass der Nullpunkt nicht regulär ist.
c) Die Jacobi-Matrix in
ist
-
Die Determinante der vorderen
-Untermatrix ist
, so dass die ersten vier Spaltenvektoren linear unabhängig sind und daher der Rang der Matrix gleich
ist. Daher handelt es sich um einen regulären Punkt.
Wir schreiben das Vektorfeld als
. Die konstante Anfangsbedingung führt zu
. Die erste Picard-Lindelöf-Iteration führt auf
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi _{1}(t)&=\int _{0}^{t}F(s,\varphi _{0}(s))ds\\&=\int _{0}^{t}F(s,0)ds\\&=\int _{0}^{t}sds\\&={\frac {1}{2}}t^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de8f3bbd6d73e7fe66e91ab92d3bed107e0697c2)
Die zweite Picard-Lindelöf-Iteration führt auf
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi _{2}(t)&=\int _{0}^{t}F(s,\varphi _{1}(s))ds\\&=\int _{0}^{t}{\left({\frac {1}{2}}s^{2}\right)}^{2}+s+{\left({\frac {1}{2}}s^{2}\right)}s^{2}ds\\&=\int _{0}^{t}{\frac {1}{4}}s^{4}+s+{\frac {1}{2}}s^{4}ds\\&={\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {3}{20}}t^{5}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08277615ba6d880cf2cb07491b67455d0185889d)
Die dritte Picard-Lindelöf-Iteration führt auf
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi _{3}(t)&=\int _{0}^{t}F(s,\varphi _{2}(s))ds\\&=\int _{0}^{t}{\left({\frac {1}{2}}s^{2}+{\frac {3}{20}}s^{5}\right)}^{2}+s+{\left({\frac {1}{2}}s^{2}+{\frac {3}{20}}s^{5}\right)}s^{2}ds\\&=\int _{0}^{t}{\frac {1}{4}}s^{4}+{\frac {3}{20}}s^{7}+{\frac {9}{400}}s^{10}+s+{\frac {1}{2}}s^{4}+{\frac {3}{20}}s^{7}ds\\&=\int _{0}^{t}s+{\frac {3}{4}}s^{4}+{\frac {3}{10}}s^{7}+{\frac {9}{400}}s^{10}ds\\&={\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {3}{20}}t^{5}+{\frac {3}{80}}t^{8}+{\frac {9}{4400}}t^{11}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abbbdf274d30334927e53c651d97fe50584edb72)
a) Es ist
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial G_{1}}{\partial y}}=e^{xy}+xye^{xy}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c992a031cff011622bec7ef7d0a13ff957f1e4)
und ebenso
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial G_{2}}{\partial x}}=e^{xy}+xye^{xy}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c6b0dedb1684c5699edb2d5ee29ecb5e4ebbc67)
es ist
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial G_{1}}{\partial z}}={\frac {1}{z}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ff00048a5ed234912587d20e423c223cdf161c)
und ebenso
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial G_{3}}{\partial x}}={\frac {1}{z}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27cd4ff80998c91c81aeb8421df49faae117fd36)
und schließlich ist
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial G_{2}}{\partial z}}=-2y\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc4041ee2c74cdd2d56da8d6896ff18b482f0312)
und ebenso
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial G_{3}}{\partial y}}=-2y\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a675f069bb47338c79745cf9cbcd75d53b9665)
die Integrabilitätsbedingungen sind also erfüllt. Da
sternförmig ist, handelt es sich um ein Gradientenfeld.
b) Ein
Potential
zu
ist
-
![{\displaystyle {}f(x,y,z)=x\ln z+e^{xy}-y^{2}z\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/928a098f4c2788d38db835044b89f79ba6c4ebe2)
wie man durch Ableiten bestätigt.
a) Es ist
-
![{\displaystyle {}z^{3}=(x+{\mathrm {i} }y)^{3}=x^{3}+3{\mathrm {i} }x^{2}y-3xy^{2}-{\mathrm {i} }y^{3}=x^{3}-3xy^{2}+{\left(3x^{2}y-y^{3}\right)}{\mathrm {i} }\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a85b456f78489b11bfcbb39674b58d52d379bde)
die Komponentenfunktionen sind also
und
.
b) Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}g}{\partial ^{2}y}}&={\frac {\partial ^{2}{\left(x^{3}-3xy^{2}\right)}}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}{\left(x^{3}-3xy^{2}\right)}}{\partial ^{2}y}}\\&=6x-6x\\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261b33c9bc32817a57f9e60d50026586f5caeee9)
und
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}h}{\partial ^{2}y}}&={\frac {\partial ^{2}{\left(3x^{2}y-y^{3}\right)}}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}{\left(3x^{2}y-y^{3}\right)}}{\partial ^{2}y}}\\&=6y-6y\\&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50e8d3fcb82f0f9a3ac2e5809efa6f689dc62f93)
- Hilfsmittel
-
![{\displaystyle {}\arcsin {\left(0,6\right)}=0,643501109...\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5adb4bfbbc22d9d6d1a7d02d62eca9a42a6a66c)
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