Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 8/kontrolle

In dieser Vorlesung führen wir die komplexen Tori als eine wichtige Beispielklasse für kompakte riemannsche Flächen ein.

Gitter

Definition Referenznummer erstellen

Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängige Vektoren im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Dann heißt die Untergruppe ${}\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}$ ein Gitter im ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter, da die Erzeuger eine Basis des Raumes bilden. Als Gruppen sind sie isomorph zu ${}\mathbb {Z} ^{n}$, hier interessieren aber auch Eigenschafen der Einbettung in ${}\mathbb {R} ^{n}$. Ein Gitter heißt rational, wenn die erzeugenden Vektoren zu ${}\mathbb {Q} ^{n}$ gehören.

Satz Satz 8.2 ändern

Zu einem Gitter ${}\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

ist die topologische Restklassengruppe ${}\mathbb {R} ^{n}/\Gamma$ isomorph zum ${}n$-dimensionalen Torus ${}S^{1}\times \cdots \times S^{1}$ (mit ${}n$ Faktoren).

Beweis

Nach Aufgabe 8.1 können wir davon ausgehen, dass ${}\Gamma$ das Standardgitter ${}\mathbb {Z} e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} e_{n}$ ist. Für dieses gilt

${}\mathbb {R} ^{n}/{\left(\mathbb {Z} e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} e_{n}\right)}={\left(\mathbb {R} /\mathbb {Z} e_{1}\right)}\times \cdots \times {\left(\mathbb {R} /\mathbb {Z} e_{n}\right)}=S^{1}\times \cdots \times S^{1}\,.$

$\Box$

Topologisch und gruppentheoretisch sind alle vollständigen Gitter zueinander äquivalent. Ein Gitter ist durch seine Basis festgelegt, aber nicht umgekehrt. Man kann aber einfach charakterisieren, ob zwei Basiselemente das gleiche Gitter erzeugen.

Lemma Lemma 8.3 ändern

Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen im ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Dann stimmen die zugehörigen Gitter ${}\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}$ und ${}\Delta =\mathbb {Z} w_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} w_{n}$ genau dann überein, wenn ihre Übergangsmatrix ganzzahlig mit Determinante ${}\pm 1$ ist.

Beweis

Es seien ${}M$ und ${}N$ die (reellen) Übergangsmatrizen zwischen den beiden Basen, dabei gilt

${}M\circ N=E_{n}\,$

und

${}\det M\cdot \det N=1\,$

nach dem Determinantenmultiplikationsatz. Es seien die Gitter gleich. Dann folgt aus ${}v_{j}\in \Delta$, dass in

${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,$

die Koeffizienten ${}c_{ij}$ ganzzahlig sind und damit sind die Übergangsmatrizen ganzzahlig. Ihre Determinanten sind somit auch ganzzahlig und aus der Determinantenbedingung folgt, dass die Determinanten ${}1$ oder ${}-1$ sein müssen, da dies die einzigen Einheiten in ${}\mathbb {Z}$ sind.

Wenn beide Übergangsmatrizen ganzzahlig sind, so gilt

${}\Gamma \subseteq \Delta \subseteq \Gamma \,$

und damit Gleichheit.

$\Box$

Im Folgenden beschränken wir uns auf den folgenden Spezialfall.

Definition Referenznummer erstellen

Unter einem Gitter in den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ versteht man ein vollständiges Gitter ${}\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \mathbb {Z} v_{2}\subset {\mathbb {C} }$.

Korollar Referenznummer erstellen

Zwei reell linear unabhängige Paare ${}(u_{1},u_{2})$ und ${}(v_{1},v_{2})$ vom komplexen Zahlen

definieren genau dann das gleiche Gitter, wenn es eine invertierbare Matrix

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,$

mit

${}{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\,$

gibt.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Lemma 8.3.

$\Box$

Beispielsweise stimmen die durch ${}1,{\mathrm {i} }$ bzw. ${}1,2+{\mathrm {i} }$ erzeugten Gitter überein, es besteht die Beziehung

${}{\begin{pmatrix}1\\2+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

bzw. umgekehrt

${}{\begin{pmatrix}1\\{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,.$

Komplexe Tori

Satz Satz 8.6 ändern

Zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$

ist die kanonische Abbildung ${}\pi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ eine Überlagerung und der Quotientenraum ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ ist in natürlicher Weise eine eindimensionale kompakte komplexe Mannigfaltigkeit Dabei wird ${}\pi$ zu einer holomorphen Abbildung.

Beweis

Zu jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }/\Gamma$ und einem Urbildpunkt ${}Q\in {\mathbb {C} }$ gibt es eine offene Ballumgebung ${}Q\in U{\left(Q,\epsilon \right)}$, auf der die Einschränkung einen Homöomorphismus

$\pi \colon U{\left(Q,\epsilon \right)}\longrightarrow V$

mit einer offenen Umgebung ${}V$ von ${}P$ induziert. Man wähle einfach ${}\epsilon$ kleiner als die Hälfte des minimalen Abstandes im Gitter. Dabei sind die ${}U{\left(Q,\epsilon \right)}$ zu verschiedenen Urbildpunkten von ${}P$ zueinander disjunkt und untereinander durch eine Verschiebung mit einem Gittervektor homöomorph. Damit ist die Abbildung ${}\pi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ eine Überlagerung mit der Faser ${}\Gamma$. Man erhält auf ${}V$ eine komplexe Karte, indem man einen Homöomorphismus zu einem ${}U{\left(Q,\epsilon \right)}$ auswählt. Zu zwei solchen offenen Mengen ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ (zu Punkten ${}P_{1},P_{2}\in {\mathbb {C} }/\Gamma$) seien ${}B_{1},B_{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ offene Bälle derart, dass die Einschränkungen ${}\pi _{1}\colon B_{1}\rightarrow V_{1}$ und ${}\pi _{2}\colon B_{2}\rightarrow V_{2}$ Homöomorphismen sind. Es sei ${}W=V_{1}\cap V_{2}$ und sei ${}U_{1}\subseteq B_{1}$ das Urbild von ${}W$ unter ${}\pi _{1}$ und ${}U_{2}\subseteq B_{2}$ das Urbild von ${}W$ unter ${}\pi _{2}$. Da das Urbild von ${}W$ unter ${}\pi$ die disjunkte Vereinigung von zu ${}W$ homöomorphen Teilmengen ist, die durch eine Translation mit einem Element aus ${}\Gamma$ ineinander übergehen, ist

${}U_{1}=v+U_{2}\,$

mit einem ${}v\in \Gamma$. Die Abbildung

$U_{1}\longrightarrow U_{2},\,z\longmapsto v+z,$

beschreibt dann den Kartenwechsel, was zeigt, dass durch diese Karten eine wohldefinierte komplexe Struktur vorliegt.

Die Kompaktheit folgt aus Satz 8.2 oder daraus, dass eine Gittermasche ganz in einer beschränkten und abgeschlossenen, also kompakten Teilmenge von ${}{\mathbb {C} }$ liegt und dass Bilder kompakter Mengen unter stetigen Abbildungen kompakt sind.

Die Holomorphie der Abbildung bezüglich der soeben etablierten komplexen Struktur auf dem Quotienten ist klar.

$\Box$

Definition Referenznummer erstellen

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe ${}G$, die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

und die Inversenbildung

$G\longrightarrow G,\,g\longmapsto g^{-1},$

stetige Abbildungen sind.

Topologische Gruppen sind ${}(\mathbb {R} ,+)$, ${}(\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )$, ${}({\mathbb {C} },+)$, ${}({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot )$, ${}(\mathbb {R} ^{n},+)$, ${}(S^{1},{\text{ mit der Winkeladdition}})$, die allgemeine lineare Gruppe ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ bzw. ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$, ein, wie wir gleich zeigen werden, komplexer Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$. Man kann jede Gruppe mit der diskreten Topologie zu einer topologischen Gruppe machen. Mit topologischen Gruppen kann man wichtige Garben definieren, siehe Beispiel 10.10. Eine Verschärfung des Begriffs einer topologischen Gruppe ist das folgende Konzept.

Definition Referenznummer erstellen

Eine komplexe Mannigfaltigkeit ${}M$, die zugleich eine Gruppe ist, für die die Gruppenverknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

und die Inversenbildung

$M\longrightarrow M,\,x\longmapsto x^{-1},$

holomorph sind, heißt komplexe Lie-Gruppe.

Satz Satz 8.9 ändern

Zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$

ist der Quotientenraum ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ in natürlicher Weise eine eindimensionale kompakte kommutative komplexe Lie-Gruppe.

Beweis

Da ${}\Gamma \subset {\mathbb {C} }$ eine Untergruppe ist, ist die Restklassengruppe ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ eine kommutative Gruppe. Nach Satz 8.6 ist ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ auch eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit. Es ist also noch zu zeigen, dass die Gruppenaddition auf ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ und das Negative holomorphe Abbildungen sind. Dies ergibt sich aber im Wesentlichen aus den kommutativen Diagrammen

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }&{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\\\!\!\!\!\!\pi \times \pi \downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\{\mathbb {C} }/\Gamma \times {\mathbb {C} }/\Gamma &{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma &\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

und

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {-}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\\\!\!\!\!\!\pi \downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\{\mathbb {C} }/\Gamma &{\stackrel {-}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma &\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

$\Box$

Definition Referenznummer erstellen

Unter einem komplexen Torus versteht man den Quotientenraum ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.

Statt von einem (eindimensionalen) komplexen Torus spricht man auch von einer komplex-elliptischen Kurve, dies vor allem aber dann, wenn man den Torus als glatte kubische Kurve in der projektiven Ebene realisiert hat, siehe Satz 12.14 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)).

Liftungen

Satz Satz 8.11 ändern

Zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$

ist die Quotientenabbildung

$\pi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$

die universelle Überlagerung des komplexen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$.

Beweis

Dass eine Überlagerung vorliegt, wurde schon in Satz 8.6 mitbewiesen. Da ${}{\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ einfach zusammenhängend ist, handelt es sich um die universelle Überlagerung.

$\Box$

Die beiden bunten Kreise zeigen die Erzeuger der Fundamentalgruppe.

Korollar Referenznummer erstellen

Die Fundamentalgruppe eines komplexen Torus ist

${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$.

Beweis

Dies folgt aus Satz 8.11 und Satz 7.9.

$\Box$

Isogenien

Lemma Lemma 8.13 ändern

Zu Gittern ${}\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$

gibt es einen kanonischen surjektiven Gruppenhomomorphismus

${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2},$

dessen Kern gleich ${}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ und insbesondere endlich ist.

Beweis

Unter dem Gruppenhomomorphismus

$\pi _{2}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$

wird insbesondere auch das Untergitter ${}\Gamma _{1}\subseteq {\mathbb {C} }$ auf ${}0$ abgebildet, d.h. ${}\Gamma _{1}$ gehört zum Kern von ${}\pi _{2}$. Somit gibt es nach dem Homomorphiesatz einen induzierten Gruppenhomomorphismus

${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.$

Dieser ist surjektiv, und sein Kern ist isomorph zu ${}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$. Dies ist eine endliche Gruppe.

$\Box$

Lemma Lemma 8.14 ändern

Zu Gittern ${}\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$

ist der kanonische Gruppenhomomorphismus

${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$

eine endliche Überlagerung, deren Fasern gleich ${}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ sind. Die Gruppe der Decktransformationen ist isomorph zu ${}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$.

Beweis

Es liegt das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {\pi _{1}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&\\&\!\!\!\!\!\pi _{2}\searrow &\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}\,,&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

wobei ${}\pi _{1}$ und ${}\pi _{2}$ nach Satz 8.6 Überlagerungen sind. Zu einer offenen Umgebung ${}P\in U\subseteq {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$, für die es in ${}{\mathbb {C} }$ die disjunkten und zu ${}U$ homöomorphen offenen Umgebungen ${}g+{\tilde {U}}$, ${}g\in \Gamma _{2}$, gibt, ist das Urbild ${}\pi ^{-1}(U)$ in ${}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$ die disjunkte Vereinigung der offenen Mengen ${}\pi _{1}(g+{\tilde {U}})$, ${}[g]\in \Gamma _{2}/\Gamma _{1}$, wobei

$\pi _{1}(g+{\tilde {U}})\longrightarrow U$

Homöomorphismen sind. Daher liegt eine Überlagerung vor.

Ein Element ${}[g]\in \Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ definiert einen stetigen Gruppenhomomorphismus

$g\colon {\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{1},\,z\longmapsto z+g,$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&{\stackrel {g}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&\\&\!\!\!\!\!\pi \searrow &\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Dabei definiert ${}g$ genau dann die Identität auf ${}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$, wenn ${}g\in \Gamma _{1}$ ist, also wenn ${}[g]=[0]$ in ${}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ ist. Die Addition in ${}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ entspricht dabei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.

$\Box$

Lemma Referenznummer erstellen

Zu Gittern ${}\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}\subset {\mathbb {C} }$

ist der kanonische Gruppenhomomorphismus

${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$

ein Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 8.13 und aus Lemma 8.14, da die holomorphen Strukturen auf ${}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$ bzw. ${}{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$ beide von ${}{\mathbb {C} }$ geerbt sind (siehe Satz 8.6).

$\Box$

Definition Referenznummer erstellen

Zu komplexen Tori ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ nennt man einen holomorphen Gruppenhomomorphismus ${}\varphi \colon E_{1}\rightarrow E_{2}$ eine Isogenie