Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Forum

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Hausaufgaben 4

4.1 Konvergenz und Grenzwert Folgen/Untersuche Folgen auf Konvergenz 2/Aufgabe Konvergenz = monotonie und beschränkheit im $\mathbb {R}$-Raum

a) $\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n^{2}}}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2n}}$

---> Das ist doch schon sehr gut! (Auch wenn die letzte Gleichung kurz zubegruenden ist) Man sieht nun also dass ${}\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n^{2}}}={\frac {1}{2}}$ gilt. Fertig! (Den Grossteil deiner weiteren Argumentation verstehe ich nicht)

Für Positive reele Zahlen ist die Differenz der a(n+1) und a(n) )= ${\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{2n+2}}$ ≥ 0 Monotonie gegeben. Beschränktheit ist nicht gegeben, weil bei n->0 die Folge gegen Unendlichkeit geht. Grenzwert bei n->oo = 1/2, was auch der unterschranke der Folge entspricht. D.h. bei broßen n konvergiert der Wert gegen 1/2. Insg. liegt keine andede Konverg. vor. spiegelverkehrtes Verhalten bei negativen reelen Zahlen.

b) bn = ${\frac {1}{n}}*(1+{\frac {1}{n}})^{n}$→ ${\frac {(1+n)^{n}}{n^{n}*n}}$ -> lim n->oo Folge -> 1 / n Monotonie: d bn = ${\frac {(n^{2}+2n)^{n+1}-(n^{2}+2n+1)^{n+1}}{S}}$ kleiner Null => Folge Fällt. Allerdings zeigt die Ausgangsgleichung in TI 83 ein nicht monotones verhalten!!

---> Tipp: Mit dem Konvergenzverhalten des Ausdrucks ${}(1+{\frac {1}{n}})^{n}$ haben wir uns intensiv in der Vorlesung beschäftigt!

4.2. Die Differenz ist hier: ${\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}$ Die Folge steigt somit an. Beschränktheit unklar. Die Folge scheint nicht höher als 0,7 liegen. Konvergenz daher auch unklar.

---> Tipp: Jeder der Summanden von ${}\sum _{m=n+1}^{2n}{\frac {1}{m}}$ ist ${}\leq {\frac {1}{n+1}}$!

Aufgabenblatt 21.7

Ich kann mir leider nicht Vorstellen wie eine derartige Funktion, wie in Aufgabe 21.7 beschrieben aussehen soll!

Kann jemand ein Beispiel angeben?

Hier nochmal die Aufgabe:

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion $f:\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R}$ die genau zwei Werte annimmt.

Liebe Grüße und vielen Dank! Eva

Hi, was wir ja auf jedenfall wissen ist, das zum Beispiel $f:\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Q} ,x\longmapsto f(x)=x^{2}-2$ stetig ist.

Das heißt ja wenn wir von $\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R}$ haben werden dort logischer weise zwei Werte angenommen, da ja in $\mathbb {Q} \notin {\sqrt {2}}$ angenommen wird.

Viele Grüße Dominik

Die Abbildung die Dominik angibt nimmt allerdings mehr als zwei Werte an. Ein Beispiel einer stetigen Abbildung ${}f:\mathbb {Q} \to \mathbb {R}$, die genau zwei Werte annimmt erhält man wie folgt. Betrachte die offene Menge ${}U=\{x\in \mathbb {Q} :d(x,0)<{\sqrt {2}}\}$ -- also der offene Ball in ${}\mathbb {Q}$ um null mit Radius ${}{\sqrt {2}}$. Diese Menge ist gleich dem abgeschlossenen Ball mit dem selben Radius (es gibt keine rationale Zahlen die von 0 exakt den Abstand ${}{\sqrt {2}}$ haben). Folglich sind sowohl ${}U$ als auch ${}\mathbb {Q} \setminus U$ offen. Wir definieren jetzt

$f:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} ,x\mapsto 1,{\text{ falls }}x\in U,x\mapsto 0{\text{ falls }}x\notin U.$

Das ist eine wohldefinierte Abbildung und wir müssen zeigen, dass diese stetig ist. Dazu benutzen wir, dass man Stetigkeit dadurch charakterisieren kann, dass Urbilder offener Mengen wieder offen sind. Sei also ${}V\subseteq \mathbb {R}$ offen. Dann ist ${}f^{-1}(V)=U$, wenn ${}1\in V,0\notin V$. Wenn umgekehrt nur die null drin liegt erhält man als Urbild ${}\mathbb {Q} \setminus U$. Wenn beide drin liegen erhält man ganz ${}\mathbb {Q}$ und wenn weder null noch eins drin liegen hat man die leere Menge. Das sind alles offene Mengen, sodass ${}f$ stetig ist und nach Konstruktion nimmt ${}f$ genau zwei Werte an.

--Axel 10:23, 15. Jul. 2010 (CEST)