Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul. Dann nennt man die Multiplizität des assoziierten graduierten Moduls ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}M$ die Hilbert-Samuel-Multiplizität von ${}M$.

Entsprechend wird die Hilbert-Samuel-Funktion und das Hilbert-Samuel-Polynom zu ${}M$ unter Bezug auf den assoziierten graduierten Moduls definiert. Insbesondere sind diese Konzepte für den lokalen Ring ${}R$ selbst definiert und die Hilbert-Samuel-Multiplizität liefert eine Invariante für lokale Ringe.

Bemerkung  

Entscheidend für die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines endlich erzeugten Moduls ${}M$ über einem noetherschen lokalen Ring sind die ${}R/{\mathfrak {m}}$-Vektorraumdimensionen von ${}{\mathfrak {m}}^{n}M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M$, denn diese sind nach Definition die ${}n$-te Stufe des assoziierten graduierten Moduls. Es liegt eine standard-graduierte ${}R/{\mathfrak {m}}$-Algebra ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R$ und darüber nach Fakt ein endlich erzeugter graduierter Modul ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}M$ vor, sodass die Multiplizität wohldefiniert ist. Nach Fakt ist die Multiplizität eine natürliche Zahl.

Lemma

Es sei ${}{\mathfrak {n}}\subseteq R$ ein maximales Ideal in einem noetherschen Ring und es sei ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul.

Dann ist die Hilbert-Samuel-Funktion des ${}R_{\mathfrak {n}}$-Moduls ${}M_{\mathfrak {n}}$ gleich

${}H(n)=\dim _{R/{\mathfrak {n}}}{\left({\mathfrak {n}}^{n}M/{\mathfrak {n}}^{n+1}M\right)}\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul.

Dann ist

${}{\tilde {H}}_{\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}M}(n)=\ell {\left(M/{\mathfrak {m}}^{n}M\right)}\,,$

d.h. die kumulative Hilbertfunktion des assoziierten graduierten Moduls misst die Länge von ${}M/{\mathfrak {m}}^{n}M$.

Beweis

Wir betrachten die kurze exakte Sequenz von ${}R$-Homomorphismen

$0\longrightarrow {\mathfrak {m}}^{n}M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\longrightarrow M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\longrightarrow M/{\mathfrak {m}}^{n}M\longrightarrow 0$

von ${}R$-Moduln endlicher Länge. Dabei gilt nach Fakt

$\ell {\left(M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\right)}-\ell {\left(M/{\mathfrak {m}}^{n}M\right)}=\ell {\left({\mathfrak {m}}^{n}M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\right)}=\dim _{R/{\mathfrak {m}}}{\left({\mathfrak {m}}^{n}M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\right)}=H(n)\,.$

Somit ist

${}\ell {\left(M/{\mathfrak {m}}^{n}M\right)}=\sum _{i<n}H(i)\,$

und das ist die Definition der kumulativen Hilbertfunktion.

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Satz

Es sei

${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

ein Polynom ${}\neq 0$ mit dem Untergrad ${}m$.

Dann ist die Hilbert-Samuel-Multiplizität des Hyperflächenringes ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}/(F)$ gleich ${}m$.

Beweis

Nach Voraussetzung hat ${}F$ die Gestalt

${}F=F_{m}+F_{m+1}+\cdots \,.$

Es sei ${}{\mathfrak {a}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ das maximale Ideal im Polynomring ${}S=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dabei gilt

${}F\in {\mathfrak {a}}^{m}\,.$

Für ein weiteres Polynom ${}G\in {\mathfrak {a}}^{d-m}$ (mit $d\geq m$) ist ${}GF\in {\mathfrak {a}}^{d}$. Daher liegt eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {a}}^{d-m}\,{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {a}}^{d}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S/({\mathfrak {a}}^{d},F)=R/{\mathfrak {m}}^{d}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor. Dabei folgt die Injektivität links aus einer direkten Gradbetrachtung (siehe Aufgabe). Die Dimension von ${}S/{\mathfrak {a}}^{d}$ ist nach Aufgabe gleich

${}{\binom {d-1+n}{n}}={\frac {(d+n-1)\cdots d}{n!}}={\frac {d^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}\,.$

Daher ergibt sich für ${}d\geq m$ die Gleichheit

${}{\begin{aligned}\dim(R/{\mathfrak {m}}^{d})&={\frac {d^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}-{\frac {(d-m)^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}(d-m)^{n-1}+\cdots }{n!}}\\&={\frac {d^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}-{\frac {d^{n}-nmd^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}\\&={\frac {nmd^{n-1}+\cdots }{n!}}\\&={\frac {md^{n-1}+\cdots }{(n-1)!}}.\end{aligned}}$

Dies ist die Behauptung.

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