Potenzreihen/C/Funktionenfolge/Konvergenz/Funktionentheorie/Textabschnitt
Es seien , , komplexe Zahlen, und die zugehörige Potenzreihe im Entwicklungspunkt . Wir betrachten die Funktionenfolge mit
Im Allgemeinen konvergiert diese Funktionenreihe weder punktweise auf ganz noch gleichmäßig. Wir werden aber sehen, dass häufig auf geeigneten Teilmengen gleichmäßige Konvergenz vorliegt.
Es sei eine Folge komplexer Zahlen und . Die Potenzreihe
sei für eine komplexe Zahl , , konvergent.
Dann ist für jeden reellen Radius mit die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.
Wir werden Fakt auf anwenden. Wegen der Konvergenz für sind die Summanden nach Fakt eine Nullfolge, d.h. es gibt insbesondere ein mit
für alle . Daher gelten für jedes die Abschätzungen
Dabei ist nach Voraussetzung
Daher liegen rechts (bis auf den Vorfaktor ) die Summanden einer nach Fakt konvergenten geometrische Reihe vor. Deren Grenzwert liefert eine obere Schranke für die Reihe der Supremumsnormen.
Für eine Potenzreihe
heißt
der Konvergenzradius der Potenzreihe. Das ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .
Jede Potenzreihe hat also grundsätzlich das gleiche Konvergenzverhalten: Es gibt eine Kreisscheibe (die eben durch den Konvergenzradius bestimmt ist, wobei die Extremfälle und erlaubt sind) um den Entwicklungspunkt, in deren Innerem die Potenzreihe konvergiert und so, dass sie außerhalb davon in keinem Punkt konvergiert. Nur auf dem Rand der Kreisscheibe kann alles mögliche passieren. Der Fall ist nicht sehr interessant. Bei positivem Konvergenzradius (einschließlich dem Fall ) sagt man auch, dass die Potenzreihe konvergiert.
Es sei
eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius .
Dann stellt die Potenzreihe auf der offenen Kreisscheibe eine stetige Funktion dar.
Jeder Punkt liegt im Innern einer abgeschlossenen Kreisscheibe mit . Auf dieser abgeschlossenen Kreisscheibe ist die Potenzreihe nach Fakt gleichmäßig konvergent, daher ist nach Fakt die Grenzfunktion stetig.
Die Exponentialreihe und die trigonometrischen Reihen Sinus und Kosinus
besitzen einen unendlichen Konvergenzradius, und die komplexe Exponentialfunktion, die komplexe Sinusfunktion und die komplexe Kosinusfunktion sind stetig.
Es seien und Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum sei. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Potenzreihe mit ist konvergent auf und stellt dort die Summenfunktion dar.
- Die Potenzreihe mit ist konvergent auf und stellt dort die Produktfunktion dar.