Riemannsche Flächen/Kompakt/Riemann-Hurwitz/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ und ${}Y$. Man nennt den Divisor ${}R$, der für jeden Punkt ${}P\in X$ die Ordnung

${}R_{P}=\operatorname {Verz} {\left(P{|}\varphi (P)\right)}-1\,$

zugewiesen bekommt, den Verzweigungsdivisor von ${}\varphi$.

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ und ${}Y$ mit dem Verzweigungsdivisor ${}R$. Dann gelten folgende Aussagen

1. Der Verzweigungsdivisor ist in der Tat ein Divisor.
2. Es ist ${}\varphi$ genau in den Punkten des Trägers von ${}R$ verzweigt.
3. Wenn ${}\varphi$ lokal auf offenen Kreisscheiben ${}U\subseteq X$ bzw. ${}V\subseteq Y$ durch eine holomorphe Funktion ${}f\colon U\rightarrow V$ beschrieben wird, so ist für ${}P\in U$ die Ordnung ${}R_{P}$ gleich der Nullstellenordnung von ${}f'$ in ${}P$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es liegt die Untergarbenbeziehung

   ${}\varphi ^{*}\Omega _{Y}\subseteq \Omega _{X}\,$

   vor.

2. Die Restklassengarbe ${}\Omega _{X}/\varphi ^{*}\Omega _{Y}$ besitzt endlichen Träger, und es gilt

   ${}{\left(\Omega _{X}/\varphi ^{*}\Omega _{Y}\right)}_{P}={\mathbb {C} }^{R_{P}}\,$

   mit

   ${}R_{P}=\operatorname {Verz} {\left(P{|}\varphi (P)\right)}-1\,.$

3. Zwischen den kanonischen Divisoren besteht die Beziehung

   ${}K_{X}\sim \varphi ^{*}K_{Y}+R\,.$

Beweis

1. Der Rückzug von Differentialformen liefert einen Garbenhomomorphismus

   $\varphi ^{*}\Omega _{Y}\longrightarrow \Omega _{X}.$

   Lokal liegt auf offenen Kreisscheiben eine Abbildung

   $f\colon U\longrightarrow V,\,z\longmapsto f(z)=w,$

   vor. Die Differentialform ${}dw$ wird nach ${}f'(z)dz$ zurückgezogen. Da ${}f$ nicht konstant ist, ist ${}f'$ nicht die Nullfunktion. Es liegt somit lokal ein kommutatives Diagramm

   ${\begin{matrix}\varphi ^{*}{\mathcal {O}}_{Y}\cong {\mathcal {O}}_{X}&{\stackrel {1\mapsto f'}{\longrightarrow }}&{\mathcal {O}}_{X}&\\\!\!\!\!\!1\mapsto dw\downarrow &&\downarrow 1\mapsto dz\!\!\!\!\!&\\\varphi ^{*}\Omega _{Y}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Omega _{X}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   vor, wobei die vertikalen Abbildungen Isomorphien sind. Da die obige Abbildung als Garbenhomomorphismus injektiv ist, gilt dies auch für die untere.

2. Es liegt insgesamt die Situation einer invertierbaren Garbe als Untergarbe einer invertierbaren Garbe vor, damit besitzt auf der kompakten riemannschen Fläche ${}X$ die Restklassengarbe automatisch endlichen Träger, siehe Fakt. In der Situation von Teil (1) wird die Restklassengarbe lokal als ${}{\mathcal {O}}_{X}/f'{\mathcal {O}}_{X}$ beschrieben bzw. halmweise durch

   ${}{\left({\mathcal {O}}_{X}/f'{\mathcal {O}}_{X}\right)}_{P}={\mathcal {O}}_{X,P}/f'{\mathcal {O}}_{X,P}\,.$

   Dieser Restklassenring ist ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {C} }$-Vektorraum der Dimension ${}\operatorname {ord} _{P}\,(f')$. Dies ist nach Fakt die Verzweigungsordnung von ${}\varphi$ in ${}P$ weniger ${}1$.

3. Dies folgt aus (2).

$\Box$

Die folgende Aussage heißt Riemann-Hurwitz-Formel.

Satz

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$.

Dann gilt für die Geschlechter die Beziehung

${}2g(X)-2=\operatorname {Grad} \,(\varphi )(2g(Y)-2)+\operatorname {Grad} \,(R)\,.$

Beweis

Dies folgt aus Fakt, Fakt und Fakt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$.

Dann gilt zwischen dem Geschlecht von ${}X$, dem Grad von ${}\varphi$ und dem Verzweigungsdivisor ${}R$ die Beziehung

${}g(X)=-\operatorname {Grad} \,(\varphi )+{\frac {\operatorname {Grad} \,(R)}{2}}+1\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt und Fakt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.

Dann gilt zwischen dem Grad von ${}\varphi$ und dem Verzweigungsdivisor ${}R$ die Beziehung

${}\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Die folgende Aussage kann man auch mit Aufgabe erhalten.

Korollar

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$.

Dann gilt für die Geschlechter die Abschätzung

${}g(X)\geq g(Y)\,.$

Beweis

Wegen der Effektivität des Verzweigungsdivisors besitzt dieser einen nichtnegativen Grad und daher folgt aus Fakt direkt

${}2g(X)-2\geq \operatorname {Grad} \,(\varphi )(2g(Y)-2)\geq (2g(Y)-2)\,$

und somit die Behauptung.

$\Box$

Die folgende Aussage heißt Satz von Lüroth.

Korollar

Es sei ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung, wobei ${}Y$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche sei.

Dann ist ${}Y$ ebenfalls die projektive Gerade.

Beweis

Nach Fakt ist

${}g{\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\right)}=0\,,$

somit ist nach Fakt auch ${}g{\left(Y\right)}=0$. Mit Fakt ergibt sich wiederum, dass ${}Y$ biholomorph zu ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ist.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine Überlagerung zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$.

Dann ist ${}\varphi$ ein Isomorphismus oder ${}g(X)=g(Y)=1$ oder ${}g(X)>g(Y)\geq 2$.

Beweis

Unverzweigt bedeutet mit Fakt  (2), dass der Verzweigungsdivisor trivial ist und damit insbesondere den Grad ${}0$ besitzt. Aus Fakt ergibt sich die Bedingung

${}g(X)-1=\operatorname {Grad} \,(\varphi )(g(Y)-1)\,.$

Dies führt zu den angegebenen Möglichkeiten.

$\Box$

Beispiel

Auf einem komplexen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ ist die Multiplikationsabbildung

$[n]\colon {\mathbb {C} }/\Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma ,\,[z]\longmapsto n[z],$

eine Überlagerung vom Grad ${}n^{2}$, da jeder Punkt genau ${}n^{2}$ Bildpunkte besitzt, vergleiche Fakt. Ein solches Verhalten ist nach Fakt nur bei Geschlecht ${}1$ möglich.