Uneigentliche Integrale/Einführung/Textabschnitt

Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, d.h., es liegen zwei Massen ${}M$ und ${}m$ vor, die untereinander den Abstand ${}R_{0}$ besitzen. Wie viel Energie muss man aufwenden, um die beiden Massen unendlich weit voneinander zu entfernen? In Beispiel haben wir die Energie berechnet, um den Abstand von ${}R_{0}$ auf ${}R_{1}$ zu erhöhen, und erhielten

${}E(R_{1})=\int _{R_{0}}^{R_{1}}\gamma {\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=\gamma Mm{\left({\frac {1}{R_{0}}}-{\frac {1}{R_{1}}}\right)}\,.$

Für ${}R_{1}\rightarrow \infty$ ist ${}{\frac {1}{R_{1}}}\rightarrow 0$ und daher ist ${}E(R_{1})\rightarrow \gamma Mm{\frac {1}{R_{0}}}$.

Dieses Beispiel zeigt, dass es sinnvoll sein kann, bei bestimmten Integralen die Intervallgrenzen „gegen unendlich laufen zu lassen“. Dies führt zum Begriff der uneigentlichen Integrale.

Unter einem (uneigentlichen) Randpunkt eines (ein- oder beidseitig) unbeschränkten Intervalls verstehen wir im Folgenden auch die Symbole ${}\infty$ und ${}-\infty$. Dies heißt nicht, dass diese Symbole zu ${}\mathbb {R}$ gehören, sondern lediglich, dass man dafür sinnvolle Grenzwertbetrachtungen durchführen kann. Die Definition für den Grenzwert einer Funktion gegen ${}+\infty$ bzw. ${}-\infty$ lautet folgendermaßen.

Definition

Es sei ${}T=[a,\infty ]$ (oder ${}T=[-\infty ,a]$) ein rechtsseitig (bzw. linksseitig) unbeschränktes Intervall und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}b\in \mathbb {R}$ Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ für ${}x\rightarrow +\infty$ (bzw. $x\rightarrow -\infty$), wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}x_{0}\geq a$ (bzw. ${}x_{0}\leq a$) gibt mit ${}\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon$ für alle ${}x\geq x_{0}$ (bzw. ${}x\leq x_{0}$). In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)=b\,$

(bzw. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow -\infty }\,f(x)=b$).

Die Rechenregeln für diesen Grenzwertbegriff (siehe Aufgabe) sind weitgehend analog zu den Rechenregeln für den bisherigen Grenzwertbegriff für Funktionen (siehe Fakt). Sie sind auch analog zu den Rechenregeln für Limiten von Folgen (siehe Fakt).

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, ${}r$ ein (uneigentlicher) Randpunkt von ${}I$ und ${}a\in I$. Es sei eine stetige Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

gegeben. Man sagt, dass das uneigentliche Integral zu ${}f$ für ${}x\rightarrow r$ existiert, wenn der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow r}\,\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

existiert. In diesem Fall schreibt man für diesen Grenzwert auch

$\int _{a}^{r}f(t)\,dt$

und nennt dies das uneigentliche Integral von ${}a$ nach ${}r$

Die Funktion ${}{\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}$, der blaue Flächeninhalt repräsentiert das (beidseitig) uneigentliche Integral.

Die Existenz dieses uneigentlichen Integrals hängt nicht vom gewählten Intervallpunkt ${}a\in I$ ab, wohl aber der Wert des uneigentlichen Integrals. Die inhaltliche Interpretation des uneigentlichen Integrals ist wiederum der Flächeninhalt unterhalb des Funktionsgraphen, aber erstreckt über ein nicht notwendigerweise kompaktes Intervall. Wenn für die Funktion ${}f$ eine Stammfunktion ${}F$ bekannt ist, so geht es um das Bestimmen des Grenzwertes

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow r}\,\int _{a}^{x}f(t)\,dt=\operatorname {lim} _{x\rightarrow r}\,F(x)-F(a)\,.$

Die Frage, ob eine uneigentliches Integral existiert, ist nur relevant, wenn ${}r$ ein uneigentlicher Randpunkt ${}+\infty$ oder ${}-\infty$ ist oder wenn ${}r$ der eigentliche Randpunkt eines an dieser Stelle halboffenen Intervalls ist.

Lemma

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}a\in I$ und ${}r$ sei ein (uneigentlicher) Randpunkt von ${}I$. Es seien

$f,h\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

stetige Funktionen mit

$f(t)\leq h(t){\text{ für alle }}t\in I$

und es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral

$\int _{a}^{r}h(t)\,dt$

existiert.

Dann existiert auch das uneigentliche Integral

$\int _{a}^{r}f(t)\,dt$

und es gilt

${}\int _{a}^{r}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{r}h(t)\,dt\,.$

Beweis

Wir behandeln den Fall, wo ${}r$ die obere Intervallgrenze ist. Für alle ${}b\in I$ ist

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{b}h(t)\,dt\,$

wegen ${}f(t)\leq h(t)$ für alle ${}t\in I$. Wegen der Nichtnegativität von ${}h$ und von ${}f$ wachsen beide Seite bei ${}b\rightarrow r$, und die rechte Seite ist durch das uneigentliche Integral ${}\int _{a}^{r}h(t)\,dt$ beschränkt. Nach Fakt existiert der Grenzwert

${}\operatorname {lim} _{b\rightarrow r}\,\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{a}^{r}f(t)\,dt\,.$

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}f(t):=t^{c}$ mit ${}c\in \mathbb {R}$. Wir interessieren uns für die uneigentlichen Integrale zu ${}f$ für ${}t$ von ${}0$ bis ${}1$. Dabei ist die Funktion bei der Intervallgrenze ${}0$ (bei negativem ${}c$) nicht definiert, das ist also der kritische Randpunkt. Bei ${}c=-1$ ist ${}\ln t$ eine Stammfunktion von ${}1/t$. Daher ist

${}\int _{x}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=-\ln x\,,$

und der Grenzwert für ${}x\rightarrow 0$ existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht.

Es sei nun ${}c<-1$. Dann ist ${}{\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}$ eine Stammfunktion zu ${}t^{c}$ und daher ist

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left(\int _{x}^{1}t^{c}\,dt\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left({\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}|_{x}^{1}\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left({\frac {1}{{c}+1}}-{\frac {x^{{c}+1}}{{c}+1}}\right)}\,.$

Da es sich rechts um eine Potenz von ${}x$ mit einem negativen Exponenten handelt, ist ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,x^{{c}+1}=\infty$ nach der inversen Version von Aufgabe.

Das uneigentliche Integral existiert also nicht. Dies folgt übrigens auch aus Fakt, da ja ${}t^{-1}\leq t^{c}$ für ${}c<-1$ und ${}0<t\leq 1$ gilt.

Es sei nun ${}{c}>-1$. Dann ist ${}{\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}$ eine Stammfunktion zu ${}t^{c}$ und daher ist

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left(\int _{x}^{1}t^{c}\,dt\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left({\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}|_{x}^{1}\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left({\frac {1}{{c}+1}}-{\frac {x^{{c}+1}}{{c}+1}}\right)}\,.$

Da es sich um eine Potenz von ${}x$ mit einem positiven Exponenten handelt, ist ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,x^{{c}+1}=0$ (nach Aufgabe). Das uneigentliche Integral existiert also und besitzt den Wert ${}{\frac {1}{c+1}}$.

Beispiel

Es sei ${}f(t):=t^{c}$ mit ${}c\in \mathbb {R}$. Wir interessieren uns für das uneigentliche Integral zu ${}f$ für ${}t$ von ${}1$ bis ${}\infty$. Der kritische (uneigentliche) Randpunkt ist also ${}+\infty$. Bei ${}c=-1$ ist ${}\ln t$ eine Stammfunktion von ${}1/t$. Daher ist

${}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\ln x\,,$

und der Grenzwert für ${}x\rightarrow +\infty$ existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht.

Es sei nun ${}c<-1$. Dann ist ${}{\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}$ eine Stammfunktion zu ${}t^{c}$ und daher ist

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,{\left(\int _{1}^{x}t^{c}\,dt\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,{\left({\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}|_{1}^{x}\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,{\left({\frac {x^{{c}+1}}{{c}+1}}-{\frac {1}{{c}+1}}\right)}\,.$

Da es sich um eine Potenz von ${}x$ mit einem negativen Exponenten handelt, ist ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,x^{{c}+1}=0$. Das uneigentliche Integral existiert also und besitzt den Wert ${}-{\frac {1}{c+1}}$.

Bei ${}c>-1$ ist ${}t^{c}\geq t^{-1}$ für ${}t\geq 1$ und daher kann nach Fakt das uneigentliche Integral nicht existieren.

Beispiel

Wir wollen das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {1+t^{2}}}^{3}}}\,dt$ berechnen. Nach Fakt ist

${}{\begin{aligned}\int _{0}^{u}{\frac {1}{{\sqrt {1+t^{2}}}^{3}}}\,dt&=\int _{\,\operatorname {arsinh} \,0\,}^{\,\operatorname {arsinh} \,u\,}{\frac {1}{\cosh ^{2}s}}\,ds\\\end{aligned}}$

Die Stammfunktion von ${}{\frac {1}{\cosh ^{2}s}}$ ist ${}{\frac {\sinh s}{\cosh s}}$. Die untere Intervallgrenze ergibt den Wert ${}0$, für die obere Intervallgrenze ergibt sich

${}\operatorname {lim} _{s\rightarrow \infty }\,{\frac {\sinh s}{\cosh s}}=\operatorname {lim} _{s\rightarrow \infty }\,{\frac {e^{s}-e^{-s}}{e^{s}+e^{-s}}}=1\,.$

Daher hat das uneigentliche Integral der Wert ${}1$.

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall mit den beiden (uneigentlichen) Randpunkten ${}r$ und ${}s$ von ${}I$. Es sei eine stetige Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

gegeben. Man sagt, dass das (beidseitig) uneigentliche Integral

$\int _{r}^{s}f(t)\,dt$

existiert, wenn für ein ${}a\in I$ die beiden einseitig uneigentlichen Integrale

$\int _{r}^{a}f(t)\,dt\,\,{\text{ und }}\,\,\int _{a}^{s}f(t)\,dt$

existieren. In diesem Fall setzt man

${}\int _{r}^{s}f(t)\,dt:=\int _{r}^{a}f(t)\,dt+\int _{a}^{s}f(t)\,dt\,$

und nennt dies das uneigentliche Integral zu ${}f$ von ${}r$ nach ${}s$.

Die Existenz des beidseitig uneigentlichen Integrals hängt nicht von der Wahl des Punktes ${}a\in I$ ab. Darüber hinaus hängt der Wert dieses Integrals, falls es existiert, ebenso wenig von dem gewählten Punkt ab.

Die Funktion ${}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}$ ist die Dichtefunktion der Gaußschen Normalverteilung. Der Flächeninhalt unterhalb der Kurve ist ${}1$.

Beispiel

Die Funktion ${}e^{-t^{2}}$ ist nicht elementar integrierbar, d.h., man kann keine geschlossene Stammfunktion mit rationalen Funktionen, Exponentialfunktion, trigonometrischen Funktionen und ihren Umkehrfunktionen angeben. Es ist

${}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\sqrt {\pi }}\,,$

was wir hier ohne Beweis mitteilen, siehe Fakt. Durch eine einfache Substitution ergibt sich daraus

${}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt=1\,.$

Dieses Integral nennt man Fehlerintegral; es spielt in der Stochastik eine wichtige Rolle.