Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Exakt und geschlossen/Fokus auf Funktionentheorie/Textabschnitt

Satz

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige stetige ${}1$-Differentialform auf ${}U$. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U'$

ein stückweise stetig differenzierbarer Weg. Es sei ${}\omega$ exakt mit der Stammform ${}\varphi$.

Dann ist

${}\int _{\gamma }\omega =\varphi (\gamma (b))-\varphi (\gamma (a))\,.$

Beweis

Unter Verwendung von Aufgabe, Fakt und Fakt ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{\gamma }d\varphi \\&=\int _{a}^{b}\gamma ^{*}(d\varphi )\\&=\int _{a}^{b}d{\left(\gamma ^{*}\varphi \right)}\\&=\int _{a}^{b}d{\left(\varphi \circ \gamma \right)}\\&=\int _{a}^{b}{\left(\varphi \circ \gamma \right)}'dt\\&=\varphi (\gamma (b))-\varphi (\gamma (a)).\end{aligned}}$

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Korollar

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine exakte ${}W$-wertige stetige ${}1$-Differentialform auf ${}U$. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U'$

ein stückweise stetig differenzierbarer geschlossener Weg.

Dann ist

${}\int _{\gamma }\omega =0\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.

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Beispiel

Aus Beispiel und Fakt folgt, dass die holomorphe Differentialform ${}{\frac {dz}{z}}$ nicht exakt ist, sie ist allerdings aufgrund von Fakt geschlossen.

Satz

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige stetige ${}1$-Differentialform auf ${}U$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist ${}\omega$ exakt.
2. Für jeden stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ nur vom Anfangspunkt ${}\gamma (a)$ und Endpunkt ${}\gamma (b)$ ab.

Beweis

Die Implikation ${}(1)\Rightarrow (2)$ folgt aus Fakt.
Es sei umgekehrt die Eigenschaft ${}(2)$ erfüllt. Wir können nach Aufgabe annehmen, dass ${}W=\mathbb {R}$ ist. Wir geben eine auf ${}U$ definierte Funktion ${}\varphi$ an, die total differenzierbar ist und deren totales Differential gleich der vorgegebenen Form ${}\omega$ ist. Dazu sei ein Punkt ${}P\in U$ fixiert. Für jeden Punkt ${}Q\in U$ gibt es einen stetig differenzierbaren Weg

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

mit ${}\gamma (a)=P$ und ${}\gamma (b)=Q$. Wir setzen

${}\varphi (Q):=\int _{\gamma }\omega \,.$

Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist ${}\varphi (Q)$ wohldefiniert. Wir zeigen zuerst, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt ${}Q\in U$ und in jede Richtung ${}v\in V$ differenzierbar ist und die Richtungsableitung mit ${}\omega (Q,v)$ übereinstimmt. Dazu betrachten wir

${}\varphi (Q+tv)-\varphi (Q)=\int _{\delta }\omega =\int _{0}^{t}\omega (Q+sv,v)ds\,,$

wobei ${}\delta$ der verbindende lineare Weg von ${}Q$ nach ${}Q+tv$ auf ${}[0,t]$ sei (und ${}t$ hinreichend klein sei, so dass ${}Q+tv\in U$ ist). Für den Differentialquotienten ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {\varphi (Q+tv)-\varphi (Q)}{t}}&=\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\omega (Q+sv,v)ds\\&=\omega (Q,v)\end{aligned}}$

nach Fakt. Somit existiert die Richtungsableitung von ${}\varphi$ in Richtung ${}v$ und hängt, wegen der Stetigkeit der Differentialform, stetig von ${}Q$ ab. Daher ist ${}\varphi$ stetig differenzierbar und somit nach Fakt auch total differenzierbar. Die letzte Gleichung bedeutet dann

${}{\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(v\right)}={\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(Q\right)}=\omega (Q,v)\,,$

so dass ${}\omega$ exakt mit der Stammform ${}\varphi$ ist.

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Definition

Eine Teilmenge ${}T\subseteq V$ in einem reellen Vektorraum ${}V$ heißt sternförmig bezüglich eines Punktes ${}P\in T$, wenn für jeden Punkt ${}Q\in T$ die Verbindungsstrecke ${}sQ+(1-s)P$, ${}s\in [0,1]$, ganz in ${}T$ liegt.

Satz

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine sternförmige offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige stetig differenzierbare ${}1$-Differentialform auf ${}U$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist ${}\omega$ exakt.
2. Es ist ${}\omega$ geschlossen.
3. Für jeden stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ nur vom Anfangspunkt ${}\gamma (a)$ und Endpunkt ${}\gamma (b)$ ab.

Beweis

Die Äquivalenz ${}(1)\Longleftrightarrow (3)$ folgt aus Fakt und die Implikation ${}(1)\Longrightarrow (2)$ aus Fakt. Es bleibt also ${}(2)\Longrightarrow (1)$ zu zeigen, wobei wir explizit eine Stammform ${}\varphi$ zur Differentialform ${}\omega$ angeben. Es sei ${}P\in U$ ein Punkt derart, dass ${}U$ bezüglich ${}P$ sternförmig ist. Wir definieren ${}\varphi (Q)$ über das Wegintegral zu ${}\omega$ zum linearen Verbindungsweg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow U,\,t\longmapsto P+t(Q-P),$

also

${}\varphi (Q):=\int _{\gamma }\omega =\int _{0}^{1}\omega (\gamma (t),Q-P)dt\,.$

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ mit den Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ und ohne Einschränkung sei ${}W=\mathbb {R}$. Wir schreiben

${}\omega =\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}dx_{j}\,$

mit stetig differenzierbaren Funktionen ${}\psi _{j}\colon U\rightarrow \mathbb {R}$. Wir müssen zeigen, dass die partiellen Ableitungen zu ${}\varphi$ in ${}Q$ gleich ${}\omega (Q,v_{i})=\psi _{i}(Q)$ sind. Dafür können wir ${}P=0$ annehmen und wir schreiben ${}z$ statt ${}Q$. Mit diesen Bezeichnungen und Voraussetzungen ist

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\varphi (z)&={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\left(\int _{0}^{1}\omega (tz,z)dt\right)}\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\omega (tz,z)\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\left(\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}(tz)\cdot z_{j}\right)}\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}t\sum _{j=1}^{n}z_{j}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\psi _{j}\right)}(tz)+\psi _{i}(tz)dt\\&=\int _{0}^{1}t\sum _{j=1}^{n}z_{j}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\psi _{i}\right)}(tz)+\psi _{i}(tz)dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t\mapsto t\cdot \psi _{i}(tz)\right)}^{\prime }dt\\&={\left(t\cdot \psi _{i}(tz)\right)}{|}_{0}^{1}\\&=\psi _{i}(z).\end{aligned}}$

Dabei beruht die zweite Gleichung auf der Vertauschbarkeit von Integration und Differentiation (angewendet auf die stetig differenzierbare Funktion ${}[0,1]\times U\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}(t,z)\longmapsto \omega (tz,z)$), die fünfte Gleichung auf der Geschlossenheit, die sechste Gleichung auf der Kettenregel und der Produktregel und die siebte Gleichung auf der Newton-Leibniz-Formel.

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