Wegintegral/Vektorfeld/Gradientenfeld/Charakterisierung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und

$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld ${}G=\operatorname {Grad} \,h$. Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg in ${}U$.

Dann gilt für das Wegintegral

${}\int _{\gamma }G=h(\gamma (b))-h(\gamma (a))\,.$

D.h. das Wegintegral hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges ab.

Beweis

Aufgrund der Kettenregel ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }G&=\int _{a}^{b}\left\langle G(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\\&=\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}G_{i}(\gamma (t))\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(\gamma (t))\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\int _{a}^{b}(h\circ \gamma )^{\prime }(t)dt\\&=h(\gamma (b))-h(\gamma (a)).\end{aligned}}$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und

$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld ${}G=\operatorname {Grad} \,h$. Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg mit ${}\gamma (a)=\gamma (b)$.

Dann ist

${}\int _{\gamma }G=0\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$

Satz

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene zusammenhängende Teilmenge und

$G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein stetiges Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${}G$ ist ein Gradientenfeld.
2. Für jeden stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral ${}\int _{\gamma }G$ nur vom Anfangspunkt ${}\gamma (a)$ und Endpunkt ${}\gamma (b)$ ab.

Beweis

Die Implikation ${}(1)\Rightarrow (2)$ folgt aus Fakt.
Es sei umgekehrt die Eigenschaft ${}(2)$ erfüllt. Wir geben eine auf ${}U$ definierte Funktion ${}h$ an, die differenzierbar ist und deren Gradientenfeld gleich dem vorgegebenen Vektorfeld ist. Dazu sei ein Punkt ${}P\in U$ fixiert. Für jeden Punkt ${}Q\in U$ gibt es einen stetig differenzierbaren Weg

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

mit ${}\gamma (a)=P$ und ${}\gamma (b)=Q$. Wir setzen

${}h(Q):=\int _{\gamma }G\,.$

Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist ${}h(Q)$ wohldefiniert. Wir müssen zeigen, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt ${}Q\in U$ und in jede Richtung ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ differenzierbar ist und die Richtungsableitung mit ${}\left\langle G(Q),v\right\rangle$ übereinstimmt. Dazu betrachten wir

${}h(Q+tv)-h(Q)=\int _{\delta }G=\int _{0}^{t}\left\langle G(Q+sv),v\right\rangle ds=\int _{0}^{t}\sum _{i=1}^{n}G_{i}(Q+sv)\cdot v_{i}ds\,,$

wobei ${}\delta$ der verbindende lineare Weg von ${}Q$ nach ${}Q+tv$ auf ${}[0,t]$ sei (und ${}t$ hinreichend klein sei, damit ${}Q+tv\in U$ ist). Für den Differentialquotienten ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {h(Q+tv)-h(Q)}{t}}&=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}G_{i}(Q+sv)\cdot v_{i}ds\\&=\sum _{i=1}^{n}G_{i}(Q)\cdot v_{i}\\&=\left\langle G(Q),v\right\rangle .\end{aligned}}$

Somit existiert die Richtungsableitung von ${}h$ in Richtung ${}v$ und hängt stetig von ${}Q$ ab. Diese Gleichung zeigt ferner

${}{\left(Dh\right)}_{Q}{\left(v\right)}={\left(D_{v}h\right)}{\left(Q\right)}=\left\langle G(Q),v\right\rangle \,,$

sodass ${}G$ das Gradientenfeld zu ${}h$ ist.

$\Box$

Wie kann man erkennen, ob ein gegebenes Vektorfeld ein Gradientenfeld ist? Eine notwendige Bedingung schlägt sich in der folgenden Definition nieder.

Definition

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und

$G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein differenzierbares Vektorfeld. Man sagt, dass ${}G$ die Integrabilitätsbedingung erfüllt (oder lokal integrabel ist), wenn

${}{\frac {\partial G_{i}}{\partial x_{j}}}(P)={\frac {\partial G_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\,$

für alle ${}P\in U$ und alle ${}i,j$ gilt.

Lemma

Das Gradientenfeld einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

erfüllt die Integrabilitätsbedingung.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$

Beispiel

Das lineare Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},$

erfüllt wegen

${}{\frac {\partial G_{1}}{\partial y}}=-1\neq 1={\frac {\partial G_{2}}{\partial x}}\,$

nicht die Integrabilitätsbedingung. Es kann also nach Fakt kein Gradientenfeld sein.

Definition

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt sternförmig bezüglich eines Punktes ${}P\in T$, wenn für jeden Punkt ${}Q\in T$ die Verbindungsstrecke ${}sQ+(1-s)P$, ${}s\in [0,1]$, ganz in ${}T$ liegt.

Satz

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine sternförmige offene Teilmenge und

$G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${}G$ ist ein Gradientenfeld.
2. ${}G$ erfüllt die Integrabilitätsbedingung.
3. Für jeden stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral ${}\int _{\gamma }G$ nur vom Anfangspunkt ${}\gamma (a)$ und Endpunkt ${}\gamma (b)$ ab.

Beweis

Die Äquivalenz ${}(1)\Longleftrightarrow (3)$ folgt aus Fakt und die Implikation ${}(1)\Longrightarrow (2)$ aus Fakt. Es bleibt also ${}(2)\Longrightarrow (1)$ zu zeigen, wobei wir explizit eine Stammfunktion ${}h$ zum Vektorfeld ${}G$ angeben. Es sei ${}P\in U$ ein Punkt derart, dass ${}U$ bezüglich ${}P$ sternförmig ist. Wir definieren ${}h(Q)$ über das Wegintegral zu ${}G$ zum linearen Verbindungsweg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow U,\,t\longmapsto P+t(Q-P),$

also

${}h(Q):=\int _{\gamma }G=\int _{0}^{1}\left\langle G(\gamma (t)),Q-P\right\rangle dt\,.$

Wir müssen zeigen, dass der Gradient zu ${}h$ gleich ${}G$ ist, d.h. es ist

${}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}=G_{i}\,$

zu zeigen. Dafür können wir ${}P=0$ annehmen und wir schreiben ${}v$ statt ${}Q$. Mit diesen Bezeichnungen und Voraussetzungen ist

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}h(v)&={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\left(\int _{0}^{1}\left\langle G(tv),v\right\rangle dt\right)}\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left\langle G(tv),v\right\rangle \right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\left(\sum _{j=1}^{n}G_{j}(tv)\cdot v_{j}\right)}\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}t\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}G_{j}\right)}(tv)+G_{i}(tv)dt\\&=\int _{0}^{1}t\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}G_{i}\right)}(tv)+G_{i}(tv)dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t\mapsto t\cdot G_{i}(tv)\right)}^{\prime }dt\\&={\left(t\cdot G_{i}(tv)\right)}{|}_{0}^{1}\\&=G_{i}(v).\end{aligned}}$

Dabei beruht die zweite Gleichung auf der Vertauschbarkeit von Integration und Differentiation (angewendet auf die stetig differenzierbare Funktion ${}[0,1]\times U\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}(t,v)\longmapsto \left\langle G(tv),v\right\rangle$), die vierte Gleichung auf Aufgabe, die fünfte Gleichung auf der Integrabilitätsbedingung, die sechste Gleichung auf der Kettenregel und der Produktregel und die siebte Gleichung auf der Newton-Leibniz-Formel.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}{\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.$

Wegen

${}{\frac {\partial G_{1}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}{\left({\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {-(x^{2}+y^{2})+y(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,$

und

${}{\frac {\partial G_{2}}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {(x^{2}+y^{2})-x(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,$

erfüllt dieses Vektorfeld die Integrabilitätsbedingung. Es handelt sich aber nicht um ein Gradientenfeld: Das Wegintegral zur (geschlossenen) trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},$

ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }G&=\int _{0}^{2\pi }\left\langle G(\gamma (t)),{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt\\&=\int _{0}^{2\pi }\left\langle {\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt\\&=\int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}t+\cos ^{2}tdt\\&=\int _{0}^{2\pi }1dt\\&=2\pi \\&\neq 0\end{aligned}}$

im Gegensatz zu Fakt.