Endomorphismus/Hauptraum/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer linearen Abbildung ${}\varphi$ auf einem ${}K$-Vektorraum ${}V$ und einem Eigenwert ${}\lambda \in K$ nennt man

${}\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{n}\,$

den Hauptraum zu ${}\varphi$ zu diesem Eigenwert.

Wenn ${}V$ endlichdimensional ist, so wird die Kette

${}\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}\subseteq \operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{2}\subseteq \operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{3}\subseteq ...\,$

stationär, d.h. es gibt ein ${}r\in \mathbb {N}$ mit

${}\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{r}\,.$

Haupträume sind nach Aufgabe invariant unter der linearen Abbildung. Es gilt nach Definition

${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\subseteq \operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,,$

wobei für diagonalisierbares ${}\varphi$ Gleichheit gilt, siehe Aufgabe. Trigonalisierbare Abbildungen werden wir über ihre Haupträume verstehen.

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ und sei

${}\chi _{\varphi }=P\cdot Q\,$

eine Faktorzerlegung des charakteristischen Polynoms in teilerfremde Polynome ${}P,Q\in K[X]$.

Dann gilt die direkte Summenzerlegung

${}V=\operatorname {kern} P(\varphi )\oplus \operatorname {kern} Q(\varphi )\,,$

wobei diese Räume ${}\varphi$-invariant sind. Die Einschränkung von ${}P(\varphi )$ auf den ${}\operatorname {kern} Q(\varphi )$ ist bijektiv.

Beweis

Nach dem Lemma von Bezout gibt es Polynome ${}S,T\in K[T]$ mit

${}SP+TQ=1\,.$

Es sei ${}U=\operatorname {kern} P(\varphi )$ und ${}W=\operatorname {kern} Q(\varphi )$. Es sei ${}v\in V$. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist

${}0=\chi _{\varphi }(\varphi )=(P(\varphi )\circ Q(\varphi ))(v)=P(\varphi )(Q(\varphi )(v))\,$

und somit gehört das Bild von ${}Q(\varphi )$ zum Kern von ${}P(\varphi )$ und umgekehrt. Aus

${}{\begin{aligned}v&=\operatorname {Id} _{V}(v)\\&=(SP+TQ)(\varphi )(v)\\&=S(\varphi )(P(\varphi )(v))+T(\varphi )(Q(\varphi )(v))\\&=P(\varphi )(S(\varphi )(v))+Q(\varphi )(T(\varphi )(v))\end{aligned}}$

kann man ablesen, dass der linke Summand zu ${}\operatorname {bild} P(\varphi )\subseteq \operatorname {kern} Q(\varphi )$ und der rechte Summand zu ${}\operatorname {bild} Q(\varphi )\subseteq \operatorname {kern} P(\varphi )$ gehört. Es liegt also eine Summenzerlegung vor, die direkt ist, da aus ${}P(\varphi )(v)=Q(\varphi )(v)=0$ sofort ${}v=0$ folgt. Für die ${}\varphi$-Invarianz der Räume siehe Aufgabe. Zu ${}v\in \operatorname {kern} Q(\varphi )$ ist

${}v=S(\varphi )(P(\varphi )(v))+T(\varphi )(Q(\varphi )(v))=S(\varphi )(P(\varphi )(v))=P(\varphi )(S(\varphi )(v))\,,$

d.h. es gilt ${}\operatorname {bild} P(\varphi )=\operatorname {kern} Q(\varphi )$ und somit ist die Einschränkung von ${}P(\varphi )$ auf den Kern von ${}Q(\varphi )$ surjektiv, also bijektiv.

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Beispiel

Wir betrachten die Permutationsmatrix

${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

über ${}\mathbb {R}$, das charakteristische Polynom ist

${}\chi _{M}=X^{3}-1=(X-1){\left(X^{2}+X+1\right)}=P\cdot Q\,,$

wobei die beiden Faktoren teilerfremd sind. Wir überprüfen Fakt an diesem Beispiel. Es ist

${}P(M)=M-E_{3}={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}\,$

mit

${}\operatorname {kern} P(M)=\operatorname {Eig} _{1}{\left(M\right)}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\,$

und

${}Q(M)={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}\,$

mit

${}\operatorname {kern} Q(M)=\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle \,.$

Es ist

${}\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\oplus \langle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle \,.$

Ferner ist

${}{\begin{aligned}P(M){\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}}\\&=-{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}P(M){\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}}\\&=-{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}-2{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

woraus man ablesen kann, dass die Einschränkung von ${}P(M)$ auf ${}\operatorname {kern} Q(M)$ bijektiv ist. Die Darstellung der ${}1$ aus Beispiel führt zur Matrixgleichung

${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}-{\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}2&0&1\\1&2&0\\0&1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}\,.$

Satz

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ und sei ${}\lambda \in K$.

Dann ist die Dimension des Hauptraumes ${}\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )$ gleich der algebraischen Vielfachheit von ${}\lambda$.

Beweis

Wir schreiben das charakteristische Polynom zu ${}\varphi$ als

${}\chi _{\varphi }=(X-\lambda )^{k}Q\,,$

wobei ${}(X-\lambda )$ in ${}Q$ nicht als Linerarfaktor vorkommt, d.h. ${}k$ ist die algebraische Vielfachheit von ${}\lambda$. Dann sind ${}P=(X-\lambda )^{k}$ und ${}Q$ teilerfremd und nach Fakt ist dann

${}V=\operatorname {kern} P(\varphi )\oplus \operatorname {kern} Q(\varphi )\,$

und

$P(\varphi )={\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{k}\colon \operatorname {kern} Q(\varphi )\longrightarrow \operatorname {kern} Q(\varphi )$

ist eine Bijektion. Es ist ferner

${}H:=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )=\operatorname {kern} P(\varphi )\,,$

wobei die Inklusion ${}\supseteq$ klar ist und die andere Inklusion sich daraus ergibt, dass höhere Potenzen von ${}X-\lambda$ wegen der eben erwähnten Bijektivität auf ${}\operatorname {kern} Q(\varphi )$ keine weiteren Elemente annullieren. Für das charakteristische Polynom gilt wegen der direkten Summenzerlegung nach Fakt die Beziehung

${}\chi _{\varphi }=\chi _{1}\cdot \chi _{2}\,,$

wobei ${}\chi _{1}$ das charakteristische Polynom zu ${}\varphi {|}_{H}$ und ${}\chi _{2}$ das charakteristische Polynom zu ${}\varphi {|}_{\operatorname {kern} Q(\varphi )}$ ist. Da ${}(\varphi -\lambda )^{k}$ auf ${}H$ die Nullabbildung ist, ist das Minimalpolynom zu ${}\varphi {|}_{H}$ und damit auch das charakteristische Polynom ${}\chi _{1}$ eine Potenz von ${}(X-\lambda )$, sagen wir

${}\chi _{1}=(X-\lambda )^{d}\,,$

wobei

${}d=\dim _{K}{\left(H\right)}\,$

sei. Insbesondere ist somit ${}d\leq k$, da ${}\chi _{1}$ ein Teiler von ${}\chi _{\varphi }$ ist. Bei ${}d<k$ müsste ${}\lambda$ eine Nullstelle von ${}\chi _{2}$ sein und ${}\lambda$ wäre ein Eigenwert von ${}\varphi {|}_{\operatorname {kern} Q(\varphi )}$. Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass ${}P(\varphi )$ auf diesem Raum eine Bijektion ist.

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Korollar

Zu einer linearen Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ und zwei Eigenwerten ${}\lambda \neq \delta$

haben die zugehörigen Haupträume den Durchschnitt ${}0$, also

${}\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\cap \operatorname {Haupt} _{\delta }(\varphi )=0\,.$

Beweis

Das charakteristische Polynom von ${}\varphi$ sei

${}\chi _{\varphi }=(X-\lambda )^{k}(X-\delta )^{\ell }F\,,$

wobei in ${}F$ weder ${}\lambda$ noch ${}\delta$ eine Nullstelle sei. Nach Fakt, angewendet auf ${}Q=(X-\delta )^{\ell }F$, ist

${}\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\cap \operatorname {kern} Q(\varphi )=0\,.$

Wegen ${}\operatorname {Haupt} _{\delta }(\varphi )\subseteq \operatorname {kern} Q(\varphi )$ folgt daraus sofort

${}\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\cap \operatorname {Haupt} _{\delta }(\varphi )=0\,.$

$\Box$

Satz

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein trigonalisierbarer ${}K$-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$.

Dann ist ${}V$ die direkte Summe der Haupträume, also

${}V=\operatorname {Haupt} _{\lambda _{1}}(\varphi )\oplus \cdots \oplus \operatorname {Haupt} _{\lambda _{m}}(\varphi )\,,$

wobei ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}$ die verschiedenen Eigenwerte zu ${}\varphi$ durchläuft, und ${}\varphi$ ist die direkte Summe der Einschränkungen

$\varphi _{i}=\varphi {|}_{H_{i}}\colon H_{i}\longrightarrow H_{i}$

auf den Haupträumen.

Beweis

Es sei

${}\chi _{\varphi }=(X-\lambda _{1})^{k_{1}}\cdots (X-\lambda _{m})^{k_{m}}\,$

das charakteristische Polynom, das nach Fakt in Linearfaktoren zerfällt, wobei die ${}\lambda _{i}$ verschieden seien. Wir führen Induktion über ${}m$. Bei ${}m=1$ gibt es nur einen Eigenwert ${}\lambda$ und nur einen Hauptraum. Nach Fakt ist dann auch das Minimalpolynom von der Form ${}(X-\lambda )^{s}$ und daher ist ${}V=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )$. Es sei die Aussage nun für kleineres ${}m$ bewiesen. Wir setzen ${}P=(X-\lambda _{1})^{k_{1}}$ und ${}Q=(X-\lambda _{2})^{k_{2}}\cdots (X-\lambda _{m})^{k_{m}}$ und sind damit in der Situation von Fakt und Fakt. Wir haben also eine direkte Summenzerlegung in ${}\varphi$-invariante Untervektorräume

${}V=\operatorname {Haupt} _{\lambda _{1}}(\varphi )\oplus \operatorname {kern} Q(\varphi )\,.$

Das charakteristische Polynom ist nach Fakt das Produkt der charakteristischen Polynome der Einschränkungen auf die beiden Räume. Nach Fakt ist ${}(X-\lambda _{1})^{k_{1}}$ das charakteristische Polynom der Einschränkung auf den ersten Hauptraum, daher muss ${}Q$ das charakteristische Polynom der Einschränkung auf ${}\operatorname {kern} Q(P)$ sein. Das heißt insbesondere, dass diese Einschränkung ebenfalls trigonalisierbar ist. Nach der Induktionsvoraussetzung ist also ${}\operatorname {kern} Q(P)$ die direkte Summe der Haupträume zu ${}\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{m}$ und daraus ergibt sich insgesamt die direkte Summenzerlegung für ${}V$ und für ${}\varphi$.

$\Box$