Kummererweiterung/Graduierte Körpererweiterung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}m\in \mathbb {N}$ und sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Eine Galoiserweiterung ${}K\subseteq L$ heißt eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$, wenn ihre Galoisgruppe abelsch und ihr Exponent ein Teiler von ${}m$ ist.

Satz

Es sei ${}m\in \mathbb {N}$ und sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}$ eine ${}D$-graduierte Körpererweiterung ist, so ist ${}K\subseteq L$ eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$.
2. Sei ${}K\subseteq L$ eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$ mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}D=\operatorname {Char} \,(G,K)$ die Charaktergruppe von ${}G$. Zu ${}\delta \in D$ sei

   ${}L_{\delta }={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=\delta (\varphi )\cdot x{\text{ für alle }}\varphi \in G\right\}}\,.$

   Dann ist ${}L=\bigoplus _{\delta \in D}L_{\delta }$ eine ${}D$-graduierte Körpererweiterung.

Beweis

(1). Dies ist eine Neuformulierung von Fakt.
(2). Nach Fakt sind sämtliche Automorphismen ${}\varphi \in G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ diagonalisierbar. Da die Galoisgruppe abelsch ist, folgt aus Fakt die simultane Diagonalisierbarkeit aller Automorphismen ${}\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}$ (${}n={\#\left(G\right)}$). Das heißt, dass man ${}L=\bigoplus _{i=1}^{n}L_{i}$ mit eindimensionalen ${}K$-Untervektorräumen ${}L_{i}$ schreiben kann, die unter jedem ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auf sich abgebildet werden. Zu jedem ${}L_{i}$ und jedem ${}\varphi$ ist dabei ${}\varphi (x)=\zeta _{i,\varphi }\cdot x$ für jedes ${}x\in L_{i}$, das Element ${}\zeta _{i,\varphi }$ beschreibt also den Eigenwert von ${}\varphi$ auf ${}L_{i}$. Die Zuordnung

$\delta _{i}\colon G\longrightarrow K^{\times },\,\varphi \longmapsto \zeta _{i,\varphi },$

ist dabei ein Charakter. Es ist ${}L_{i}\subseteq L_{\delta _{i}}$, da ja ${}L_{i}$ die zu ${}\delta _{i}$ gehörende Eigenraumbedingung erfüllt. Wegen

${}n=\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(G\right)}={\#\left(D\right)}\,$

ist ${}L_{i}=L_{\delta _{i}}$ und jeder Charakter ${}\delta$ tritt als ein ${}\delta _{i}$ auf. Also ist ${}L=\bigoplus _{\delta \in D}L_{\delta }$. Die Stufe zum konstanten Charakter ist ${}K$. Für ${}x_{1}\in L_{\delta _{1}}$ und ${}x_{2}\in L_{\delta _{2}}$ und ${}\varphi \in G$ ist

${}\varphi (x_{1}x_{2})=\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})=\delta _{1}(\varphi )x_{1}\delta _{2}(\varphi )x_{2}=\delta _{1}(\varphi )\delta _{2}(\varphi )x_{1}x_{2}={\left(\delta _{1}\cdot \delta _{2}\right)}(\varphi )x_{1}x_{2}\,,$

also ${}x_{1}x_{2}\in L_{\delta _{1}\cdot \delta _{2}}$, sodass in der Tat eine graduierte Körpererweiterung vorliegt.

$\Box$

Ein Beispiel wie ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}},{\sqrt[{3}]{7}}]$ zeigt, dass eine graduierte Körpererweiterung galoissch sein kann mit einer nichtkommutativen Galoisgruppe.

Korollar

Es sei ${}m\in \mathbb {N}$ und sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$ mit Galoisgruppe ${}G$, zugehöriger Charaktergruppe ${}D=\operatorname {Char} \,(G,K)$ und zugehöriger Graduierung

${}L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}\,.$

Es seien ${}H^{\times }$ die homogenen Elemente ${}\neq 0$ von ${}L$.

Dann ist die natürliche Inklusion

$H^{\times }\longrightarrow {\left\{a\in L^{\times }\mid a^{m}\in K\right\}}$

ein Gruppenisomorphismus.

Beweis

Die Charaktergruppe ${}D=\operatorname {Char} \,(G,K)$ besitzt wegen der Voraussetzung über die Einheitswurzeln nach Fakt den gleichen Exponenten wie ${}G$. Für ein homogenes Element ${}x\in L_{d}$ gilt also insbesondere ${}x^{m}\in L_{dm}=L_{0}=K$, sodass die linke Menge eine Teilmenge der rechten ist. Die Multiplikation ist links und rechts gleich, sodass eine Untergruppe vorliegt. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}a\in L^{\times }$ mit ${}a^{m}\in K$ vorgegeben. Wir zeigen, dass ein solches Element einen Charakter der Galoisgruppe definiert. Zu ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ist

${}{\left({\frac {\varphi (a)}{a}}\right)}^{m}={\frac {(\varphi (a))^{m}}{a^{m}}}={\frac {\varphi (a^{m})}{a^{m}}}={\frac {a^{m}}{a^{m}}}=1\,.$

Der Bruch ${}\delta _{a}(\varphi )={\frac {\varphi (a)}{a}}$ ist also eine ${}m$-te Einheitswurzel und gehört somit zu ${}K^{\times }$. Für zwei Automorphismen ${}\varphi ,\psi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ist dabei

${}{\begin{aligned}{\frac {(\varphi \circ \psi )(a)}{a}}&={\frac {\varphi (\psi (a))}{a}}\\&={\frac {\varphi (a)}{a}}\cdot {\frac {\varphi (\psi (a))}{\varphi (a)}}\\&={\frac {\varphi (a)}{a}}\cdot \varphi {\left({\frac {\psi (a)}{a}}\right)}\\&={\frac {\varphi (a)}{a}}\cdot {\frac {\psi (a)}{a}},\end{aligned}}$

sodass

$\delta _{a}\colon \operatorname {Gal} \,(L{|}K)\longrightarrow K^{\times },\,\varphi \longmapsto {\frac {\varphi (a)}{a}},$

ein Charakter ist. Wegen ${}\varphi (a)={\frac {\varphi (a)}{a}}a=\delta _{a}(\varphi )a$ ist ${}a\in L_{\delta _{a}}$, also homogen.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}m\in \mathbb {N}$ und sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$.

Dann ist ${}K\subseteq L$ eine Radikalerweiterung.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und aus Fakt  (5).

$\Box$

Innerhalb der Radikalerweiterungen sind die Kummererweiterungen speziell, nämlich von der folgenden Gestalt.

Satz

Es sei ${}m\in \mathbb {N}$ und sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung.

Dann ist ${}K\subseteq L$ genau dann eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$, wenn es eine Beschreibung

${}L=K{\left({\sqrt[{m}]{a_{1}}},\ldots ,{\sqrt[{m}]{a_{r}}}\right)}\,$

mit ${}a_{i}\in K$ gibt.

Beweis

Aus Fakt und Fakt  (3) folgt, dass eine Kummererweiterung die angegebene Radikaldarstellung besitzt.
Zum Beweis der Umkehrung sei ${}L=K{\left(x_{1},\ldots ,x_{r}\right)}$ mit ${}x_{i}^{m}=a_{i}\in K$. Wir müssen zeigen, dass diese Erweiterung galoissch mit abelscher Galoisgruppe ist. Es sei ${}\zeta \in K$ eine primitive ${}m$-te Einheitswurzel. Die Produkte ${}\zeta ^{\ell }x_{i}$ erfüllen ebenfalls ${}{\left(\zeta ^{\ell }x_{i}\right)}^{m}=a_{i}$. Da man die ${}x_{i}$ als von ${}0$ verschieden annehmen kann, und ${}\zeta$ primitiv ist, sind diese Produkte für jedes ${}i$ untereinander verschieden. Dies bedeutet, dass die Polynome ${}X^{m}-a_{1},\ldots ,X^{m}-a_{r}$ über ${}L$ in verschiedene Linearfaktoren zerfallen. Damit ist ${}L$ der Zerfällungskörper dieser separablen Polynome, sodass nach Fakt eine Galoiserweiterung vorliegt. Sei ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ die Galoisgruppe dieser Erweiterung. Für jedes ${}\varphi \in G$ und jedes ${}i$ ist ${}\varphi (x_{i})$ ebenfalls eine Lösung der Gleichung ${}X^{m}=a_{i}$ und daher ist ${}\varphi (x_{i})=\zeta ^{\ell }x_{i}$ mit einem gewissen (von ${}\varphi$ und ${}i$ abhängigen) ${}\ell$. Für zwei Automorphismen ${}\varphi _{1},\varphi _{2}\in G$ ist daher

${}(\varphi _{1}\circ \varphi _{2})(x_{i})=\varphi _{1}(\varphi _{2}(x_{i}))=\varphi _{1}(\zeta ^{\ell _{2}}x_{i})=\zeta ^{\ell _{2}}\varphi _{1}(x_{i})=\zeta ^{\ell _{2}}\zeta ^{\ell _{1}}x_{i}=\zeta ^{\ell _{2}+\ell _{1}}x_{i}\,.$

Somit wirken die Automorphismen auf dem Erzeugendensystem kommutativ und daher ist ${}\varphi _{1}\circ \varphi _{2}=\varphi _{2}\circ \varphi _{1}$. Damit ist die Galoisgruppe abelsch.
Für jedes ${}x_{i}$ ist ferner

${}\varphi ^{m}(x_{i})={\left(\zeta ^{\ell }\right)}^{m}x_{i}=x_{i}\,$

mit einem gewissen ${}\ell$. Also ist ${}\varphi ^{m}=\operatorname {Id}$, sodass ${}m$ ein Vielfaches des Exponenten ist.

$\Box$

Beispiel

Der achte Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$, also die (siehe Fakt) (mehrfach) graduierte Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq L=K_{8}=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [X]/(X^{4}+1)\,$

ist eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}2$ mit Galoisgruppe ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$. Die gemäß Fakt zugehörige ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$-Graduierung ist

$\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} {\mathrm {i} }\oplus \mathbb {Q} {\sqrt {2}}\oplus \mathbb {Q} {\mathrm {i} }{\sqrt {2}}.$

Nach Fakt gilt ${}H^{\times }={\left\{a\in L^{\times }\mid a^{2}\in \mathbb {Q} \right\}}$, d.h. die Menge der rationalen Quadratwurzeln von ${}L$ sind einfach beschreibbar. Es gibt aber auch noch weitere Wurzeln aus rationalen Zahlen in ${}L$, beispielsweise die achte Einheitswurzel ${}\zeta _{8}$, die eine vierte Wurzel von ${}-1$ ist.