Lösung
- Zu einem Polynom
heißt das Maximum
-
der Grad von
.
- Die beiden
affin-algebraische Mengen
heißen affin-linear äquivalent, wenn es eine
affin-lineare Variablentransformation
mit
-
![{\displaystyle {}\varphi ^{-1}(V)={\tilde {V}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b0bf8438e8967d36fe75ffb76548332d67fb3d)
gibt.
- Zu
mit
Verschwindungsideal
nennt man
den Koordinatenring von
.
- Unter dem Spektrum versteht man die Menge der
-
Algebrahomomorphismen
.
- Ein diskreter Bewertungsring
ist ein
Hauptidealbereich
mit der Eigenschaft, dass es bis auf
Assoziiertheit
genau ein
Primelement
in
gibt.
- Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge
zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom
.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge
.
- Der Satz über maximale Ideale in einer Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper
.
- Der Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.
Lösung
- Sei
eine Teilmenge. Dann ist der Zariski-Abschluss von
gleich
-
![{\displaystyle {}{\overline {T}}=V(\operatorname {Id} \,(T))\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdaf4bcca23e2a0a8fce67b3c28006d381fc0d10)
- Es sei
ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei
eine endlich erzeugte
-Algebra. Dann ist jeder
Restklassenkörper von
isomorph zu
.
- Es sei
ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei
eine ebene projektive Kurve vom Grad
.
Dann gibt es einen surjektiven
Morphismus
-
derart, dass alle Fasern aus maximal
Punkten bestehen.
Bestimme die Schnittpunkte der Neilschen Parabel
mit
- den Geraden durch dem Nullpunkt,
- den zu den Achsen parallelen Geraden.
Lösung
- Die Geraden durch den Nullpunkt sind durch
-
![{\displaystyle {}X=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab9b8728a3c6994f8012d7e4336ace9d19d5cac)
und
-
![{\displaystyle {}Y=\alpha X\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa8c80c7997c49d43ffed8da01c41425ae696ac4)
mit
gegeben. Einsetzen in die Gleichung der Neilschen Parabel ergibt im ersten Fall
-
![{\displaystyle {}Y^{2}=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79bc859859cf7e698969669b6e15c3f97dfe15f)
also den einzigen Schnittpunkt
, und im zweiten Fall
-
![{\displaystyle {}\alpha ^{2}X^{2}=X^{3}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082f565d546d69ce44582088889fe5be20e706af)
also
-
![{\displaystyle {}X^{2}{\left(X-\alpha ^{2}\right)}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f7eca3b61a730aa9379911de2ebde5404f620c)
mit den Schnittpunkten
und
.
- Die Geraden, die parallel zur
-Achse sind, sind durch
-
![{\displaystyle {}Y=c\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3967df1d1c3af7b3078fd7414183fdf1eed842)
mit einem
gegeben. Dies führt auf
-
![{\displaystyle {}c^{2}=X^{3}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d447d605aa7028d51d2d822fde7eea5540d182c9)
Bei
ergibt dies den einzigen Schnittpunkt
und bei
ergibt dies die Schnittpunkte
, wobei
eine beliebige dritte Wurzel aus
bezeichnet und
die dritten Einheitswurzeln durchläuft.
Die Geraden, die parallel zur
-Achse sind, sind durch
-
![{\displaystyle {}X=d\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac965504f9dff9d6138afe3b2f7aa199aeefe538)
mit einem
gegeben. Dies führt auf
-
![{\displaystyle {}Y^{2}=d^{3}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8117fde161b778076349ad2ff8ad902e66b9b5fa)
Bei
ergibt dies den einzigen Schnittpunkt
und bei
ergibt dies die Schnittpunkte
, wobei
eine beliebige Quadratwurzel aus
bezeichnet.
Lösung
Betrachte die beiden Kreise
-
Zeige, dass die beiden Kreise über
affin-linear äquivalent
sind, aber nicht über
.
Lösung
Es ist
äquivalent zu
. Über
ist also
,
eine affin-lineare Transformation.
Für den Fall
setzen wir
und
mit Koeffizienten
an. Es ergibt sich
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\tilde {X}}^{2}+{\tilde {Y}}^{2}&=(aX+bY+c)^{2}+(dX+eY+f)^{2}\\&=\left(a^{2}+d^{2}\right)X^{2}+\left(b^{2}+e^{2}\right)Y^{2}+2(ab+de)XY+H(X,Y)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f958facef21dfdac9634c53abaa1c851c1da69)
mit
mit
. Es muss also die Gleichheit
gelten. Durch multiplizieren mit dem Hauptnenner können wir die Gleichung auf die Form
-
bringen, wobei
. Wir wollen zeigen, dass diese Gleichung keine ganzzahlige Lösung besitzt. Da die linke Seite der Gleichung ein Vielfaches von
ist, folgt
, also
, woraus
folgt. In
ist
genau dann, wenn
und
. Daraus folgt
und wir können beide Seiten der Gleichung durch
teilen. Wir setzen nun
,
und
. Absteigende Induktion führt zum Ziel.
Beweise den Satz über die Noethersche Normalisierung für Kurven.
Lösung
Wir schreiben
in homogener Zerlegung als
-
![{\displaystyle {}F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{1}+F_{0}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0e47bfc461f24339652d51bd688ae2ebe5b8c8b)
mit den homogenen Komponenten
-
![{\displaystyle {}F_{i}=\sum _{a+b=i}c_{a,b}X^{a}Y^{b}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9e960b6cfa79c82a1acbcf5c7f95050cd779a6)
Ein homogenes Polynom in zwei Variablen hat die gleichen Faktorisierungseigenschaften wie ein Polynom in einer Variablen. Da wir uns über einem algebraisch abgeschlossenen Körper befinden, gibt es eine Faktorisierung
-
![{\displaystyle {}F_{d}=c(Y-e_{1}X)\cdots (Y-e_{k}X)X^{d-k}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe6bba9cc7231548ec82763aed8b64db630d6d4)
Da
eine
-te Wurzel besitzt können wir durch Streckung der Variablen erreichen, dass
ist. Da
insbesondere unendlich ist, finden wir ein
, das von allen
verschieden ist. Wir schreiben die Gleichung in den neuen Variablen
-
und erhalten eine Gleichung
, wo die Linearfaktoren von
die Gestalt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}Y-e_{j}X&=Y-eX+eX-e_{j}X\\&={\tilde {Y}}-(e_{j}-e)X\\&={\tilde {Y}}-(e_{j}-e){\tilde {X}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/228940d5c5cb32339e1df0e9f9b86c23252962ae)
(mit
)
bzw.
haben. Multipliziert man dies aus so sieht man, dass
mit einem bestimmten Vorfaktor aus
vorkommt, den wir wieder durch Streckung als
annehmen können. Dann hat
die Gestalt
Terme, in denen maximal
vorkommt. Die homogenen Komponenten von kleinerem Grad behalten auch ihren Grad, so dass in
nur noch weitere Monome vom
-Grad
gibt.
Führe für die rationale Quadrik
-
![{\displaystyle {}C=V(X^{2}+Y^{2}-5)\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {Q} }^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/453a3ae59b2ba7e19fc6d17131893d553168f63b)
eine rationale Parametrisierung im Sinne von
Satz 7.6 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))
mit dem Hilfspunkt
und einer geeigneten Geraden durch.
Lösung
Wir verschieben den Punkt
in den Nullpunkt, indem wir die neuen Variablen
und
einführen. Die Gleichung wird dann zu
-
![{\displaystyle {}X^{2}+Y^{2}-5=(U+1)^{2}+(V+2)^{2}-5=U^{2}+V^{2}+2U+4V\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6bb0bb74806316355c9520660cee4edc972059)
Die Formeln für die Parametrisierung mit der Geraden
liefern
-
![{\displaystyle {}P_{1}=-t{\left(2t+4\right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8bfab922f1facfe81e5910513c9c732ff84402c)
-
![{\displaystyle {}P_{2}=-{\left(2t+4\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb30622045d253ea06300121f9855611950b82a8)
und
-
![{\displaystyle {}Q=t^{2}+1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3881bfd7177f49d76303ff97ba4346ec4924942)
Die Parametrisierung ist also durch
-
gegeben. Daraus ergibt sich für die Ausgangsgleichung die Parametrisierung
-
![{\displaystyle {}X=-t{\frac {\left(2t+4\right)}{t^{2}+1}}+1={\frac {-t^{2}-4t+1}{t^{2}+1}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba6d046b9861ec4295776953e726ac24f8a3b0f)
und
-
![{\displaystyle {}Y={\frac {-{\left(2t+4\right)}}{t^{2}+1}}+2={\frac {2t^{2}-2t-2}{t^{2}+1}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e20bc3f907630f3bd55a3d482521b4993329888)
Lösung Hilbertscher Nullstellensatz/Eindimensional/Direkt/Aufgabe/Lösung
Lösung
Es ist
-
![{\displaystyle {}X^{4}-1=(X^{2}-1)(X^{2}+1)=(X+1)(X-1)(X^{2}+1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7d549e5fb9e77704eed48f44b923bbf87f37ac)
und
![{\displaystyle {}X^{2}+1\in \mathbb {Q} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cebcbe3667ca1d33d2a32a00fc75bb78d8207099)
ist irreduzibel, da es keine rationale Nullstelle besitzt. Es handelt sich also um die Primfaktorzerlegung, wobei die Faktoren paarweise nicht assoziiert sind, da sie ja alle normiert sind. Nach dem chinesischen Restsatz für Hauptidealbereiche gilt daher die Produktzerlegung
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{4}-1)\cong \mathbb {Q} [X]/(X+1)\times \mathbb {Q} [X]/(X-1)\times \mathbb {Q} [X]/(X^{2}+1)\cong \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f60422f98d8a4835421a80a838b3d3a67a9a47fa)
wobei wir für das zweite Gleichheitszeichen die Einsetzungen
![{\displaystyle {}X\mapsto -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74bc6cc68e87c40d4c28cce64e16e4b9fb47be6d)
und
![{\displaystyle {}X\mapsto 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e03a3df9a68499b21e91b369039ba76d0255c7)
und die Isomorphie
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{2}+1)\cong \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e024a3d6358fbd6bcd855eef7a9102fa0be23ee4)
verwendet haben. Das Element
![{\displaystyle {}X^{3}+X=X(X^{2}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e068956f470339c60fc3a329eb95ca65a8d8a401)
wird unter den drei Projektionen auf
![{\displaystyle {}-2,2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0b6847a3a18e024455c510275304eab33a23eb)
und
![{\displaystyle {}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5428e3b06006771c083bd17ed8fce8f3be334b2)
abgebildet, es ist also gleich
-
Lösung
Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.
Lösung
Sei
der
Quotientenkörper
von
und
ein Element, das die
Ganzheitsgleichung
-
![{\displaystyle {}q^{n}+r_{n-1}q^{n-1}+r_{n-2}q^{n-2}+\cdots +r_{1}q+r_{0}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9fba299912fc0bd5bc21d058e3c6b77d04db9e)
mit
erfüllt. Wir schreiben
mit
,
,
wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also
und
keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass
eine
Einheit
in
ist, da dann
zu
gehört.
Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit
und erhalten in
-
![{\displaystyle {}a^{n}+{\left(r_{n-1}b\right)}a^{n-1}+{\left(r_{n-2}b^{2}\right)}a^{n-2}+\cdots +{\left(r_{1}b^{n-1}\right)}a+{\left(r_{0}b^{n}\right)}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2949f060f6cad63ea80a02317f52482584d6362c)
Wenn
keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler
von
. Dieser teilt alle Summanden
für
und daher auch den ersten, also
. Das bedeutet aber, dass
selbst ein Vielfaches von
ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.
Bestimme über die partiellen Ableitungen für das durch das Polynom
-
gegebene Nullstellengebilde einen singulären Punkt. Führe eine Koordinatentransformation durch, die diesen Punkt in den Nullpunkt überführt. Bestimme die Multiplizität und die Tangenten in diesem Punkt.
Lösung
Sei
-
![{\displaystyle {}F=V^{3}+U^{2}V-2UV+2U^{2}-4U-2V\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae702915e51cf540fc106f91ff50300207495f5)
Dann ist
-
Aus der ersten Gleichung erhält man für einen singulären Punkt die Bedingung
-
wobei die letztere Bedingung voraussetzt, dass
ist. Betrachten wir also zuerst den Fall
. Die erste partielle Ableitung ist dann unabhängig von
gleich null und die zweite Ableitung liefert die Bedingung
-
Die Kurvengleichung ergibt
-
![{\displaystyle {}V^{3}+V-2V-2V-2=V^{3}-3V-2=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d2f1f1e0fdd8e5c79e7c0dede94d07a4e127a8)
die von
erfüllt wird. Daher ist
ein singulärer Punkt der Kurve.
Unter den neuen Variablen
und
ist
der Nullpunkt. Die Kurvengleichung transformiert sich unter
und
zu
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}&=(Y-1)^{3}+(X+1)^{2}(Y-1)-2(X+1)(Y-1)+2(X+1)^{2}-4(X+1)-2(Y-1)\\&=Y^{3}-3Y^{2}+3Y-1+(X^{2}+2X+1)(Y-1)-2XY+2X-2Y+2+2X^{2}+4X+2-4X-4-2Y+2\\&=Y^{3}-3Y^{2}+3Y-1+X^{2}Y+2XY+Y-X^{2}-2X-1-2XY+2X-2Y+2+2X^{2}+4X+2-4X-4-2Y+2\\&=Y^{3}+X^{2}Y-3Y^{2}+X^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f82ec4f188d95eb7233d389489d2bf3d783b955)
Der homogene Bestandteil von kleinstem Grad ist also
. Daher ist die Multiplizität zwei und die beiden Tangenten durch den singulären Punkt werden durch
beschrieben.
Lösung
Zu dem Monoid gehören alle Vielfachen von
, also
-
Dann alle Summen aus
mit einem Vielfachen von
, also
-
Dazu alle Summen aus
mit einem Vielfachen von
, also
-
Dazu alle Summen aus
mit einem Vielfachen von
, also
-
Damit sind alle Zahlen ab
abgedeckt, da es für jede Restklasse modulo
einen Vertreter im Monoid gibt. Da
zur Verfügung steht, gehören ab
alle Zahlen zum Monoid. Die Führungszahl ist also
. Die Multiplizität ist die kleinste positive Zahl im Monoid, also
. Die Einbettungsdimension ist die minimale Anzahl der Erzeuger, also
, da man auf die
nicht verzichten kann. Der Singularitätsgrad ist die Anzahl der Lücken, es fehlen
-
der Singularitätsgrad ist also
![{\displaystyle {}8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc2553faa08cf6077e121d8d1a32c3c4b920b1ee)
.
Beweise den Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings
.
Lösung
Zunächst ist
ein
lokaler Ring
mit
maximalem Ideal
.
Wenn nämlich eine Potenzreihe
keine Einheit ist, so muss nach
Satz 24.6 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))
der konstante Term von
gleich
sein. Dann kann man aber
mit der umindizierten Potenzreihe
schreiben. Die
Nullteilerfreiheit
folgt durch Betrachten der Anfangsterme: Sind
und
von
verschiedene Potenzreihen, so ist
-
![{\displaystyle {}F=a_{k}T^{k}+a_{k+1}T^{k+1}+\ldots \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e952b0a852749fdc69c11bf04a076aadeb493f6e)
und
-
![{\displaystyle {}G=b_{\ell }T^{\ell }+a_{\ell +1}T^{\ell +1}+\ldots \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690722aa96ee9fc14c82cfe9f0545ee022923a90)
mit
.
Für die Produktreihe ist dann der Koeffizient
-
![{\displaystyle {}c_{k+\ell }=a_{k}b_{\ell }\neq 0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a728db81dfc6988b210bf19f6b95ac4ddb4463b)
da die kleineren Koeffizienten alle
sind. Es bleibt also noch
noethersch
zu zeigen. Es ergibt sich aber direkt, dass ein
Hauptidealbereich
vorliegt, und zwar wird jedes Ideal
von
erzeugt, wobei
das Minimum über alle Indizes von Koeffizienten
von Potenzreihen in dem Ideal ist.
Bestimme die Schnittmultiplizität im Nullpunkt des Kartesischen Blattes
-
![{\displaystyle {}C=V(X^{3}+Y^{3}-3XY)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69115d627dcbc44c5f81fe44be3a4d195ba19a95)
mit jeder affinen Geraden der affinen Ebene. Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht
ist.
Lösung
Wenn die Gerade nicht durch den Nullpunkt läuft, so ist die Schnittmultiplizität null. Betrachten wir also die Geraden durch den Nullpunkt, die man als
oder als
beschreiben kann. Bei
ergibt sich der Restklassenring
-
![{\displaystyle {}K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y,X^{3}+Y^{3}-3XY)=K[X]_{(X)}/(X^{3})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e23415f68f55a5f9069f6ae4508b92f26664d27)
Dieser Ring hat die
-Dimension, die Schnittmultiplizität ist also
. Wegen der Symmetrie der Situation gilt dies auch für die Gerade
. Betrachten wir nun eine Gerade
mit
. Dann ist der Restklassenring gleich
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y-aX,X^{3}+Y^{3}-3XY)&=K[X]_{(X)}/(X^{3}+a^{3}X^{3}-3aX^{2})\\&=K[X]_{(X)}/(X^{2}(-3a+(1+a^{3})X)).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e851d9afbe648215fea12e7e3358607ed39637d)
Da
ist, ist der hintere Faktor eine Einheit, so dass es sich um den Ring
handelt mit Dimension zwei.
Zeige, dass eine
ebene projektive Kurve
-
![{\displaystyle {}V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b69053980f7ce5c55f790a4c67ddbc10079c27)
über einem
algebraisch abgeschlossenen Körper
genau dann
glatt
ist, wenn die
partiellen Ableitungen
-
in keinem Punkt der Kurve simultan gleich
sind.
Lösung
Partielles Ableiten bezüglich einer Variablen
und Dehomogenisieren bezüglich einer anderen Variablen
sind vertauschbar.
Es sei
ein Punkt der Kurve. Dieser Punkt liegt in einer der offenen affinen Mengen
oder
,
auf der wir die Glattheit testen können. Ohne Einschränkung können wir
annehmen. Wir schreiben
.
Es sei
die inhomogene Gleichung der Kurve, die aus
entsteht, indem man
gleich
setzt. Wenn
ein glatter Punkt von
ist, so bedeutet dies, dass die beiden partiellen Ableitungen
und
nicht simultan im Punkt
verschwinden. Sagen wir
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial G}{\partial Y}}(P)\neq 0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93548095bcf6755f069b369dea008479a17aff7a)
Nach der Vorbemerkung ist dann auch
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(a,b,1)={\frac {\partial G}{\partial Y}}(a,b)\neq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894c13d6cdcc615a06baac2f776ce112f0e59d8f)
und das homogene Ableitungskriterium ist erfüllt.
Wenn umgekehrt das homogene Kriterium erfüllt ist, und
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(a,b,1)\neq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e602f4c4dfe5a5b271b64864e19303458c22cb)
(bzw. die partielle Ableitung nach
),
so ergibt sich direkt
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial G}{\partial Y}}(P)\neq 0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93548095bcf6755f069b369dea008479a17aff7a)
Nach
Aufgabe *****
ist
-
![{\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(F)\cdot F=X{\frac {\partial F}{\partial X}}+Y{\frac {\partial F}{\partial Y}}+Z{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba051a713fe16904963d3c235d7c21038ba714f3)
Dies bedeutet, dass wenn die partiellen Ableitungen
und
im Punkt
verschwinden, dass dann auch
in diesem Punkt verschwindet, und dass das homogene Kriterium nicht erfüllt sein kann.