Kurs:Algebraische Kurven/7/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	4	4	2	10	4	3	4	4	8	2	6	63

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine affin-lineare Variablentransformation.
2. Eine rationale ebene Kurve.
3. Ein ${}R$-Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Die numerische Einbettungsdimension eines numerischen Monoids ${}M$.
5. Eine formale Potenzreihe über einem kommutativen Ring ${}R$ in der Variablenmenge ${}T_{1},\ldots ,T_{n}$.
6. Das Nullstellengebilde zu einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$.

Lösung

1. Man nennt eine Abbildung ${}\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ der Form

   ${}\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+(v_{1},\ldots ,v_{n})\,,$

   wobei ${}M$ eine invertierbare Matrix ist, eine affin-lineare Variablentransformation.

2. Eine ebene algebraische Kurve ${}C=V(F)$ heißt rational, wenn sie irreduzibel ist und es eine rationale Parametrisierung für sie gibt.
3. Man nennt ${}M$ einen ${}R$-Modul, wenn eine Operation

   $R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$

   festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):

   1. ${}r(su)=(rs)u$,
   2. ${}r(u+v)=(ru)+(rv)$,
   3. ${}(r+s)u=(ru)+(su)$,
   4. ${}1u=u$.
4. Man nennt die minimale Anzahl von Elementen in einem Erzeugendensystem für ${}M$ die Einbettungsdimension von ${}M$.
5. Eine formale Potenzreihe ist ein Ausdruck der Form

   ${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }T^{\nu }=\sum _{\nu }a_{\nu }T_{1}^{\nu _{1}}\cdots T_{n}^{\nu _{n}}\,.$

   wobei ${}a_{\nu }\in R$ ist für alle ${}\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$.

6. Man nennt

   $V_{+}({\mathfrak {a}})={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(P)=0{\text{ für }}{\text{alle homogenen }}F\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$

   das projektive Nullstellengebilde zu ${}{\mathfrak {a}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Parametrisierung von Quadriken.
2. Der Satz über den globalen Schnittring eines ${}K$-Spektrums.
3. Der Satz über den projektiven Abschluss zu einer affinen Varietät ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.

Lösung

1. Es sei ${}C=V(F)$ eine Quadrik in zwei Variablen, also

   ${}F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$

   (mit ${}\alpha$, ${}\beta$, ${}\gamma$ nicht alle ${}0$). Es sei vorausgesetzt, dass es mindestens einen Punkt auf der Quadrik gibt. Dann gibt es Polynome ${}P_{1},P_{2},Q\in K[T]$, ${}Q\neq 0$, derart, dass das Bild der rationalen Abbildung

   ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(Q)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,{\text{ mit }}t\longmapsto \left({\frac {P_{1}(t)}{Q(t)}},{\frac {P_{2}(t)}{Q(t)}}\right)$

   in ${}C$ liegt.
2. Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}R$ eine reduzierte ${}K$-Algebra von endlichem Typ und sei ${}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das ${}K$-Spektrum von ${}R$. Dann ist

   ${}\Gamma (V,{\mathcal {O}})=R\,.$

3. Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong D_{+}(X_{0})$ eine affine Varietät. Dann wird der projektive Abschluss durch ${}V_{+}({\mathfrak {b}})$ beschrieben,

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass die Einheiten von ${}R[X]$ genau die Einheiten von ${}R$ sind.

Lösung

Es sei ${}a\in R$ eine Einheit. Dann gibt es ein ${}b\in R$ mit ${}ab=1$ und die gleiche Identität gilt auch im Polynomring. Also ist

${}R^{\times }\subseteq R[X]^{\times }\,.$

Es sei nun

${}P=\sum _{i=0}^{d}a_{i}X^{i}\,$

($a_{d}\neq 0$) eine Einheit in ${}R[X]$. Dann gibt es ein Polynom

${}Q=\sum _{j=0}^{e}b_{j}X^{j}\,$

($b_{e}\neq 0$) mit

${}PQ=1\,.$

Da ${}R$ ein Integritätsbereich ist, ist ${}a_{d}b_{e}\neq 0$ und das Produkt hat die Gestalt

$a_{d}b_{e}X^{d+e}+{\text{Terme von kleinerem Grad}}.$

Daher ist

${}d+e=0\,$

und

${}a_{d}b_{e}=1\,,$

das Polynom ist also eine konstante Einheit.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad ${}d\geq p$. Zeige, dass es ein Polynom ${}g(x)$ mit einem Grad ${}<p$ derart gibt, dass für alle Elemente ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ die Gleichheit

${}f(a)=g(a)\,$

gilt.

Lösung

Wir führen im Polynomring ${}(\mathbb {Z} /(p))[X]$ die Division mit Rest von ${}f$ durch ${}X^{p}-X$ durch und erhalten

${}f=(X^{p}-X)q+g\,.$

Dabei ist ${}g=0$ oder aber der Grad von ${}g$ ist ${}d<p$ (das Nullpolynom habe jeden Grad). Setzt man links und rechts ein Element ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ ein, so ist stets ${}a^{p}=a$ nach dem kleinen Fermat, d.h. der linke Summand ist immer null und damit stimmen ${}f$ und ${}g$ an diesen Stellen überein.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte ${}(-1,1)$ und ${}(4,-2)$ verläuft.

Lösung

Der Richtungsvektor der Geraden ist ${}{\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}}$. Somit besitzt die Geradengleichung die Form

${}3x+5y=c\,.$

Einsetzen eines Punkt ergibt ${}c=2$. Somit ist

${}y={\frac {2-3x}{5}}\,.$

Dies setzen wir in die Kreisgleichung

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

ein und erhalten

${}x^{2}+{\left({\frac {2-3x}{5}}\right)}^{2}=1\,$

oder

${}x^{2}+{\frac {4-12x+9x^{2}}{25}}-1={\frac {34}{25}}x^{2}-{\frac {12}{25}}x-{\frac {21}{25}}=0\,.$

Die Normierung davon ist

$x^{2}-{\frac {6}{17}}x-{\frac {21}{34}}.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {{\frac {6}{17}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{17}}\right)}^{2}+4\cdot {\frac {21}{34}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{17}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{17}}\right)}^{2}+{\frac {42}{17}}}}}{2}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {6^{2}+714}}}{34}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {750}}}{34}}\\&={\frac {6\pm 5{\sqrt {30}}}{34}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}y_{1,2}&={\frac {2-3x_{1,2}}{5}}\\&={\frac {2-3{\left({\frac {6\pm 5{\sqrt {30}}}{34}}\right)}}{5}}\\&={\frac {68-3{\left(6\pm 5{\sqrt {30}}\right)}}{170}}\\&={\frac {50\mp 15{\sqrt {30}}}{170}}\\&={\frac {10\mp 3{\sqrt {30}}}{34}}.\end{aligned}}$

Die Schnittpunkte sind also

$\left({\frac {6+5{\sqrt {30}}}{34}},\,{\frac {10-3{\sqrt {30}}}{34}}\right)\,\,{\text{ und }}\,\,\left({\frac {6-5{\sqrt {30}}}{34}},\,{\frac {10+3{\sqrt {30}}}{34}}\right).$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Betrachte die durch

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto (t+t^{2},t^{3})=(x,y),$

definierte Parametrisierung. Bestimme eine (nichttriviale) algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist. Man gebe auch einen Punkt in der affinen Ebene an, der nicht auf der Bildkurve liegt.

Lösung

Wir berechnen die ersten Monome in ${}X$ und ${}Y$. Es ist

$X^{0}Y^{0}=1$

$X=(t^{2}+t)$

$Y=t^{3}$

$XY=t^{5}+t^{4}$

$X^{2}=t^{4}+2t^{3}+t^{2}$

$Y^{2}=t^{6}$

$X^{3}=t^{6}+3t^{5}+3t^{4}+t^{3}.$

Wir brauchen eine nicht-triviale Relation dieser Polynome aus ${}K[t]$. Es ist

$X^{3}-Y^{2}-Y=3t^{5}+3t^{4}=3XY.$

Also ist

$X^{3}-Y^{2}-Y-3XY$

eine algebraische Relation für die Bildkurve.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein noetherscher, kommutativer Ring. Zeige, dass dann auch jeder Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ noethersch ist.

Lösung

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R/{\mathfrak {b}}$ ein Ideal und sei ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}\subseteq R$ das Urbildideal davon. Dieses ist endlich erzeugt nach Voraussetzung, also ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$. Die Restklassen dieser Erzeuger, also ${}{\bar {f}}_{1},\ldots ,{\bar {f}}_{n}$, bilden ein Idealerzeugendensystem von ${}{\mathfrak {a}}$: Für ein Element ${}{\bar {g}}\in {\mathfrak {a}}$ gilt ja ${}g=\sum _{i=1}^{n}r_{i}f_{i}$ in ${}R$ und damit ${}{\bar {g}}=\sum _{i=1}^{n}{\bar {r}}_{i}{\bar {f}}_{i}$ in ${}R/{\mathfrak {b}}$.

Aufgabe (10 Punkte)

Beweise die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.

Lösung

Wir setzen ${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Es sei ${}K_{i}$ der Quotientenkörper von ${}K[x_{1},\ldots ,x_{i}]$ (innerhalb von ${}L$). Wir haben also eine Körperkette

${}K=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \ldots \subseteq K_{n}=L\,.$

Wir wollen zeigen, dass ${}L$ endlich über ${}K$ ist, und dazu genügt es nach [[Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt|Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/7/Klausur mit Lösungen (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)) (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))]] zu zeigen, dass jeder Schritt in der Körperkette endlich ist. Es sei angenommen, dass ${}K_{i}\subseteq K_{i+1}$ nicht endlich ist, aber alle folgenden Schritte endlich sind. Wir wenden Lemma 10.5 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) auf

${}K\subseteq K_{i+1}\subset L\,$

an und erhalten, dass ${}K_{i+1}$ endlich erzeugt über ${}K$ ist. Dann ist insbesondere ${}K_{i+1}$ auch endlich erzeugt über ${}K_{i}$. Andererseits ist ${}K_{i+1}$ der Quotientenkörper von ${}K_{i}[x_{i+1}]$. Wir haben also eine Kette

${}K_{i}\subseteq K_{i}[x_{i+1}]\subseteq Q(K_{i}[x_{i+1}])=K_{i+1}\,,$

wo ${}K_{i+1}$ endlich erzeugt über ${}K_{i}$ ist, aber nicht endlich. Wäre ${}x_{i+1}$ algebraisch über ${}K_{i}$, so auch endlich, und dann wäre ${}K_{i}[x_{i+1}]$ bereits ein Körper nach Aufgabe 10.1 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)). Dann wäre die letzte Kette insgesamt endlich, im Widerspruch zur Wahl von ${}i$. Also ist ${}x_{i+1}$ transzendent über ${}K_{i}$. Dann ist aber ${}K_{i}[x_{i+1}]$ isomorph zu einem Polynomring in einer Variablen und ${}Q(K_{i}[x_{i+1}])$ ist isomorph zum rationalen Funktionenkörper über ${}K_{i}$. Dieser ist aber nach Lemma 10.6 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) nicht endlich erzeugt, sodass sich erneut ein Widerspruch ergibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p\in \mathbb {Z}$ eine Primzahl und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(p^{n})$ nur die beiden trivialen idempotenten Elemente ${}0$ und ${}1$ besitzt.

Lösung

Es sei ${}e\in \mathbb {Z} /(p^{n})$ ein idempotentes Element. Dies bedeutet

${}e^{2}=e\,$

und somit ist ${}e(e-1)$ ein Vielfaches von ${}p^{n}$, sagen wir

${}e(e-1)=ap^{n}\,.$

Nehmen wir ${}e\neq 0,1$ an. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ${}\mathbb {Z}$ ist

${}e=bp^{i}\,$

und

${}e-1=cp^{j}\,$

mit

${}i+j=n\,.$

Wären ${}i,j\geq 1$, so wäre sowohl ${}e$ als auch ${}e-1$ ein Vielfaches von ${}p$, und das würde dann auch für ${}1=e-(e-1)$ gelten, was nicht der Fall ist. Also ist ${}i=n$ oder ${}j=n$, was ${}e=0$ oder ${}e-1=0$ im Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(p^{n})$ bedeutet.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms

$X^{3}+XY^{2}\in {\mathbb {C} }[X,Y]$

und bestimme die Singularitäten der zugehörigen affinen Kurve samt ihren Multiplizitäten und Tangenten.

Lösung

Offenbar ist durch ${}X(X+{\mathrm {i} }Y)(X-{\mathrm {i} }Y)$ eine Zerlegung des Polynoms in Primfaktoren gegeben. Um singuläre Punkte zu bestimmen, untersuchen wir die partiellen Ableitungen.

${\frac {\partial F}{\partial X}}=3X^{2}+Y^{2}{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=2XY.$

Man sieht unmittelbar, dass diese beiden Gleichungen genau dann erfüllt sind, wenn ${}(x,y)=(0,0)$. Da dieser Punkt auch der Kurvengleichung genügt, ist dies ein (der) singuläre Punkt der Kurve. Das Polynom, welches die Kurve beschreibt, ist schon homogen vom Grad ${}3$, also ist die Multiplizität ${}3$. Die Tangenten sind also durch ${}V(X),V(X+{\mathrm {i} }Y)$ und ${}V(X-{\mathrm {i} }Y)$ gegeben.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Einheiten im Ring ${}R=K[\mathbb {Q} ]$, wobei ${}K$ ein Körper ist.

Lösung

Die Einheiten sind genau die Elemente der Form

$aX^{q}{\text{ mit }}a\neq 0{\text{ und }}q\in \mathbb {Q} .$

Solche Elemente sind Einheiten, da ja

${}{\left(aX^{q}\right)}{\left(a^{-1}X^{-q}\right)}=X^{q}X^{-q}=X^{q-q}=X^{0}=1\,$

gilt. Wenn umgekehrt ${}P=a_{q_{1}}X^{q_{1}}+a_{q_{2}}X^{q_{2}}+\cdots +a_{q_{n}}X^{q_{n}}$ mit ${}q_{1}<q_{2}<\ldots <q_{n}$ eine Einheit ist, so gibt es ein ${}Q=b_{r_{1}}X^{r_{1}}+b_{r_{2}}X^{r_{2}}+\cdots +b_{r_{m}}X^{r_{m}}$ mit entsprechend ${}r_{1}<r_{2}<\ldots <r_{m}$ und mit

${}PQ=1\,.$

Dabei seien die angeführten Koeffizienten ${}\neq 0$. Das Produkt ist daher von der Form

$a_{q_{1}}b_{r_{1}}X^{q_{1}+r_{1}}+\cdots +a_{q_{n}}b_{r_{m}}X^{q_{n}+r_{m}}.$

Dies kann nur dann gleich ${}1$ sein, wenn

${}q_{1}+r_{1}=q_{n}+r_{m}\,$

ist, was nur bei ${}n=m=1$ möglich ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine integre, endlich erzeugte ${}K$-Algebra mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Es sei ${}q\in Q(R)$. Zeige, dass die Menge

${\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\mid q\in {\mathcal {O}}_{P}\right\}}$

offen in ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ist (dabei bezeichnet ${}{\mathcal {O}}_{P}$ den lokalen Ring im Punkt ${}P$).

Lösung

Wir zeigen, dass es zu jedem Punkt ${}P$ mit ${}q\in {\mathcal {O}}_{P}$ eine offene Umgebung des Punktes gibt derart, dass die Eigenschaft für jeden Punkt der Umgebung gilt. Damit ist dann die Vereinigung dieser offenen Umgebungen offen. Der lokale Ring hat die Gestalt ${}{\mathcal {O}}_{P}=R_{\mathfrak {m}}$ mit einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in ${}R$. Die Zugehörigkeit ${}q\in R_{\mathfrak {m}}$ bedeutet, dass man ${}q=r/f$ schreiben kann mit ${}f\not \in {\mathfrak {m}}$. Damit ist ${}P\in D(f)$ eine offene Umgebung und ${}f$ ist für jeden Punkt dieser offenen Umgebung ein erlaubter Nenner, sodass für jeden Punkt ${}P'\in D(f)$ ebenfalls ${}q\in {\mathcal {O}}_{P'}$ gilt.

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$\nu \colon (K^{\times },\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ${}\nu (f+g)\geq \min\{\nu (f),\nu (g)\}$ für alle ${}f,g\in K^{\times }$. Zeige, dass

${}R={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 0\right\}}\cup \{0\}\,$

ein diskreter Bewertungsring ist.

Lösung

Zuerst zeigen wir, dass ${}R$ ein Unterring des Körpers ${}K$ ist. Es ist ${}0\in R$. Da ${}\nu$ ein Gruppenhomomorphismus ist, muss ${}\nu (1)=0$ sein. Für Elemente ${}f,g\in R$ ist ${}\nu (f),\nu (g)\geq 0$ und damit ${}\nu (f\cdot g)=\nu (f)+\nu (g)\geq 0$, da ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, und ebenso

${}\nu (f+g)\geq \operatorname {min} \left(\nu (f),\,\nu (g)\right)\geq 0\,$

nach Voraussetzung, sodass ${}R$ multiplikativ und additiv abgeschlossen ist. Ferner ist ${}\nu (-1)+\nu (-1)=\nu ((-1)^{2})=\nu (1)=0$, woraus aber ${}\nu (-1)=0$ und somit ${}-1\in R$ folgt. Also gehören auch die Negativen zu ${}R$, und somit liegt ein kommutativer Ring vor.

Weiterhin muss ${}R$ ein lokaler Ring sein. Wir behaupten, dass

${}{\mathfrak {m}}:={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 1\right\}}\cup \{0\}\subseteq R\,$

das einzige maximale Ideal ist. Die ${}0$ gehört dazu und wegen ${}\nu (f+g)\geq \operatorname {min} \left(\nu (f),\,\nu (g)\right)\geq 1$ ist die Menge additiv abgeschlossen. Für ${}f\in {\mathfrak {m}}$ und ${}g\in R$ ist ${}\nu (f)\geq 1$ und ${}\nu (g)\geq 0$ und daher ${}\nu (gf)=\nu (g)+\nu (f)\geq 1$, sodass die Menge abgeschlossen unter Skalarmultiplikation ist. Also liegt ein Ideal vor.

Das Komplement ${}R\setminus {\mathfrak {m}}$ besteht aus allen Elementen ${}h\in K$ mit ${}\nu (h)=0$. Dann ist aber auch ${}\nu (h^{-1})=0$ und damit ${}h^{-1}\in R$, d.h. diese Elemente sind alle Einheiten. Daher ist ${}{\mathfrak {m}}$ maximal.

Wir müssen noch zeigen dass ein diskreter Bewertungsring vorliegt. Es sei hierzu ${}p\in K$ ein Element mit ${}\nu (p)=1$, was es wegen der vorausgesetzten Surjektivität gibt. Wir wollen zeigen, dass ${}p$ prim ist. Es gilt generell, dass ${}y$ ein Vielfaches von ${}x$ (${}x,y\in R$) ist genau dann, wenn ${}\nu (y)\geq \nu (x)$ ist, da ja die Teilbarkeitsbeziehung zu ${}y/x\in R$ äquivalent ist. Aus ${}p{|}xy$ mit ${}x,y\in R$, folgt nun ${}1=\nu (p)\leq \nu (xy)=\nu (x)+\nu (y)$ und dann muss ${}\nu (x)\geq 1$ oder ${}\nu (y)\geq 1$ sein, sodass eines ein Vielfaches von ${}p$ ist. Also ist ${}p$ prim.

Mit dem gleichen Argument folgt, dass jedes Element ${}x\in R$ mit ${}n=\nu (x)$ assoziiert zu ${}p^{n}$ ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit genau den Idealen ${}0$ und ${}(p^{n})$, ${}n\in \mathbb {N}$, vor.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Betrachte die affine Nullstellenmenge

${}V:=V{\left(X^{4}+Y^{2}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}\,$

über ${}\mathbb {R}$.

1. Bestimme die Punkte von ${}V$ und den projektiven Abschluss von ${}V$.
2. Zeige, dass der projektive Abschluss von ${}V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von ${}X^{4}+Y^{2}$ übereinstimmt.

Lösung

1. Der einzige Punkt von ${}V$ ist der Nullpunkt ${}(0,0)$. Da endliche Punktmengen im Projektiven abgeschlossen sind, stimmt dies mit dem projektiven Abschluss überein.
2. Die Homogenisierung ist ${}Y^{2}Z^{2}-X^{4}$. Indem man ${}Z=0$ setzt, kann man die unendlich fernen Punkte berechnen. Es ergibt sich die Bedingung

   ${}0=X^{4}\,$

   und die zusätzliche Lösung ${}(0,1,0)$.

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte und die Schnittmultiplizitäten der beiden Kurven ${}V(Y^{2}-X^{3})$ und ${}V(Y^{2}-X^{5})$ in ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$ und ihrer projektiver Abschlüsse im ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$

Lösung

Es ist

${}X^{3}=Y^{2}=X^{5}\,$

und somit muss in einem Schnittpunkt

${}X^{5}-X^{3}=X^{3}(X^{2}-1)=X^{3}(X-1)(X+1)=0\,$

sein. Dies ergibt für die ${}X$-Koordinate die Möglichkeiten

${}X=0,1-1\,.$

Dies führt auf die Schnittpunkte

$(0,0),\,(1,1),\,(1,-1),\,(-1,-{\mathrm {i} }),\,(-1,-{\mathrm {i} }).$

Wir berechnen die Schnittmultiplizität über die Dimension von

$(K[X,Y]/(Y^{2}-X^{3},X^{3}(1-X^{2})))_{\mathfrak {m}}$

zu den verschiedenen maximalen Idealen. Bei ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)$ geht es um den Ring

${}K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y^{2}-X^{3},X^{3})=K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y^{2},X^{3})\,$

und ${}1,X,X^{2},Y,YX,YX^{2}$ ist eine ${}K$- Basis dieses Ringes, die Schnittmultiplizität ist also ${}6$. Bei ${}{\mathfrak {m}}=(X-1,Y-1)$ ist

${}Y^{2}-X^{3}=-(X^{2}+X+1)(X-1)+(Y+1)(Y-1)\,$

und

${}X^{5}-X^{3}=X^{3}(X+1)(X-1)\,,$

wobei die Koeffizientenpolynome im lokalen Ring ${}K[X,Y]_{\mathfrak {m}}$ Einheiten sind. Also ist die Schnittmultiplizität gleich ${}1$. Ebenso ist bei ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y+1)$ die Schnittmultiplizität gleich ${}1$. Bei ${}{\mathfrak {m}}=(X+1,Y\pm {\mathrm {i} })$ ist

${}Y^{2}-X^{3}=(X^{2}+X+1)(X-1)+(Y+{\mathrm {i} })(Y-{\mathrm {i} })\,$

und nach dem gleichen Argument wie zuvor ist die Schnittmultiplizität gleich ${}1$.

Um die Schnittpunkte im Projektiven zu bestimmen, betrachten wir die homogenen Polynome ${}ZY^{2}-X^{3}$ und ${}Z^{3}Y^{2}-X^{5}$ und setzen ${}Z=0$. Dies ergibt den einzigen weiteren Schnittpunkt ${}(0,1,0)$ (in homogenen Koordinaten). Zur Berechnung der Schnittmultiplizität setzen wir ${}Y=1$ und müssen den Ring

${}K[X,Z]/(Z-X^{3},Z^{3}-X^{5})=K[X]/(X^{5}-X^{9})\,$

betrachten. Dessen ${}K$-Dimension ist ${}5$, was somit die Schnittmultiplizität in diesem Punkt ist.