Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 5/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom mit Nullstellenmenge ${}V(F)$. Zeige, dass für jeden Punkt ${}P\in V(F)$ und jeden Skalar ${}\lambda \in K$ auch ${}\lambda P\in V(F)$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein homogenes Polynom. Zeige: ${}F$ zerfällt in Linearfaktoren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom. Es sei ${}F=GH$ ein Faktorzerlegung. Zeige, dass ${}G$ und ${}H$ ebenfalls homogen sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein homogenes Polynom unter einer linearen Variablentransformation homogen vom gleichen Grad bleibt, und dass dies bei einer affin-linearen Variablentransformation nicht sein muss.

Die folgenden zwei Aufgaben dienen dem Verständnis von Satz 5.4 und Korollar 5.5.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf das Polynom ${}Y$ an.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ${}F\in \mathbb {C} [X,Y]$ ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass die zugehörige algebraische Kurve ${}C=V(F)$ überabzählbar viele Elemente besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das Bild ${}{\tilde {F}}$ des Polynoms

${}F=X^{2}Y+3XY-Y^{3}\,$

unter dem durch

$X\longmapsto T^{2}+S-3,\,Y\longmapsto 3TS+S^{2}-T$

definierten Einsetzungshomomorphismus

$K[X,Y]\longrightarrow K[S,T].$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom mit der zugehörigen Abbildung

$F\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{1}}.$

Zeige mit und ohne Satz 5.11, dass das Bild von ${}F$ einpunktig oder unendlich ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen und

$P_{1},\ldots ,P_{n}\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$

${}n$ Punkte in der affinen Ebene. Zeige, dass es genau dann eine polynomiale Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}$

mit ${}\operatorname {bild} \varphi =\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$ gibt, wenn ${}1\leq n\leq q$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wie viele Monome vom Grad ${}d$ gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf die algebraische Kurve an, die zur rationalen Funktion

${}Y={\frac {X^{2}-2X}{X^{2}-1}}\,$

gehört.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,xy).$

Bestimme das Bild und die Fasern dieser Abbildung.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte das Ellipsoid

${}E=V(2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}-5)={\left\{(x,y,z)\mid 2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}=5\right\}}\,.$

Finde eine affin-lineare Variablentransformation(über ${}\mathbb {R}$) derart, dass das Bild von ${}E$ unter der Abbildung die Standardkugel ${}V(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1)$ wird.

Ein Ellipsoid: In der algebraischen Geometrie ist damit die Oberfläche gemeint.

Ein Ellipsoid: In der algebraischen Geometrie ist damit die Oberfläche gemeint.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Seien ${}V$ und ${}{\tilde {V}}$ affin-algebraische Mengen in ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ zu ${}K=\mathbb {Z} /(2)$. Zeige, dass diese beiden Mengen genau dann affin-linear äquivalent sind, wenn sie die gleiche Anzahl besitzen.

Zeige ebenso, dass dies bei ${}K=\mathbb {Z} /(p)$ für ${}p\geq 3$ und auch für ${}\mathbb {A} _{\mathbb {Z} /(2)}^{n}$ für ${}n\geq 3$ nicht gilt.