Kurs:Analysis/Teil I/18/Klausur mit Lösungen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 1 2 2 3 4 2 3 3 3 3 4 3 4 4 4 3 7 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  3. Ein lokales Minimum einer Funktion

    ( eine Teilmenge) in einem Punkt .

  4. Die Stetigkeit in einem Punkt einer Abbildung .
  5. Die -fache Differenzierbarkeit einer Funktion
  6. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .


Lösung

  1. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
  2. Unter der Fakultät von versteht man die Zahl
  3. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt.

  4. Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.
  5. Man sagt, dass -mal differenzierbar ist, wenn -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung differenzierbar ist.
  6. Die Funktion

    heißt die Integralfunktion zu zum Startpunkt .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
  2. Das Schubfachprinzip (oder Taubenschlagprinzip).
  3. Der Satz über die differentielle Charakterisierung von konvexen Funktionen.


Lösung

  1. Es sei eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
  2. Es sei eine endliche Menge mit Elementen und eine endliche Menge mit Elementen. Es sei . Dann gibt es keine injektive Abbildung
  3. Es sei ein Intervall und

    eine differenzierbare Funktion.

    Dann ist genau dann eine konvexe Funktion, wenn die Ableitung wachsend ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Negiere die Aussage „Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß“ durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.


Lösung

Martina findet Markus zuckersüß oder es gibt im Kurs einen von Markus verschiedenen Jungen, den sie nicht zuckersüß findet.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und Mengen. Beweise die Identität


Lösung

Es sei . Dann ist und . Letzteres bedeutet oder . Im ersten Fall ist , im zweiten Fall , in beiden Fällen also .

Wenn umgekehrt gilt, so bedeutet dies oder . Im ersten Fall ist und , im zweiten Fall und . Also ist und und somit ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Mengen und und injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls injektiv ist.


Lösung

Es seien mit

gegeben. Aufgrund der Injektivität von folgt

und aufgrund der Injektivität von folgt

was die Injektivität von bedeutet.


Aufgabe (3 Punkte)

Es soll Holz unterschiedlicher Länge (ohne Abfall) in Stücke zerlegt werden, die zwischen und cm lang sein sollen (jeweils einschließlich). Für welche Holzlängen ist dies möglich?


Lösung

Es sei die Länge des Holzes, das zerlegt werden soll. Für ist eine Zerlegung offenbar nicht möglich. Für kann man das Stück so lassen, wie es ist, eine Zerlegung ist also möglich. Für ist eine Zerlegung nicht möglich, da das Stück zu lang ist, um es direkt zu übernehmen, aber zu kurz, um es in zwei oder mehr Teile zu zerlegen. Für kann man das Stück in zwei (beispielsweise gleichgroße) Teile unterteilen, eine Zerlegung ist also möglich. Für ist keine Zerlegung möglich. Für zwei Teile ist das Stück nämlich zu lang und für drei oder mehr Teile ist es zu kurz. Ab

ist eine Zerlegung stets möglich. Die Länge erfüllt dann nämlich

mit einer natürlichen Zahl . Wenn man durch dividiert, erhält man

was als Länge eines Teilstücks erlaubt ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise


Lösung

Der Induktionsanfang bei ist klar. Unter Verwendung der Pascalschen Rekursionsformel und der Induktionsvoraussetzung ist


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Untersuche die Folge

auf Konvergenz. Verwende, dass gegen konvergiert.


Lösung

Es ist

Daher ist

Da und somit auch das Quadrat davon gegen konvergiert, konvergiert die Folge gegen .


Aufgabe (3 Punkte)

Zu jeder natürlichen Zahl sei ein normiertes Polynom vom Grad und ein normiertes Polynom vom Grad gegeben. Ist die Folge

(es sei zusätzlich stets ) eine Nullfolge?


Lösung

Die Folge muss keine Nullfolge sein. Wir setzen

und

Dann ist

und ebenso

Somit ist die konstante Folge mit dem Wert und dem Grenzwert .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Summenfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Lösung

Es seien bzw. die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu

ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Sei

Dann gilt für alle (unter Verwendung der Dreiecksungleichung) die Abschätzung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

Zeige, dass für alle die folgende Beziehung gilt: Wenn

dann ist


Lösung

Unter der Bedingung

ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt

aus genau einem Punkt besteht.


Lösung

Es sei beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem sei derart, dass

Für ist dann

da ja ist. Es sei der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre für ein , so wäre

(oder ), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen würden dann auch die Folgenglieder für hinreichend groß echt unterhalb von und damit von liegen, im Widerspruch zu . Also ist . Würden zwei Zahlen zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre

für alle im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen konvergieren.


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Lösung

Es ist und , es muss also nach Korollar 13.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) eine Nullstelle im Intervall geben. Wir berechnen den Funktionswert an der Intervallmitte und erhalten

Wir müssen also mit dem rechten Teilintervall weitermachen. Dessen Intervallmitte ist . Der Funktionswert an dieser Stelle ist

Jetzt müssen wir mit dem linken Teilintervall weitermachen, dessen Mitte ist . Der Funktionswert an dieser Stelle ist

Somit wissen wir, dass es eine Nullstelle zwischen und gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei jeweils tangential schneidet.


Lösung

Das gesuchte Polynom sei

Dann ist

Die Bedingung, dass der Graph zu die Diagonale und die Gegendiagonale bei schneidet, bedeutet

Die Steigung der Diagonale ist . Da der Schnitt tangential sein soll, bedeutet dies

Die Steigung der Gegendiagonale ist . Dies bedeutet somit

Die Summe der beiden letzten Gleichungen ergibt direkt

und somit

Daraus ergibt sich mit der ersten (oder der zweiten) Gleichung

Das gesuchte Polynom ist also


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.


Lösung

Wir gehen von

und

aus, wobei die Bedingungen aus der linearen Approximierbarkeit erfüllt sein sollen, und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu

Aufgrund von Lemma 12.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert für .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der sechsten Ordnung zur Funktion im Nullpunkt mit einem Potenzreihenansatz unter Verwendung von


Lösung

Wir möchten die Taylor-Reihe bis zum Grad von im Entwicklungspunkt gemäß Bemerkung bestimmen. Nach der Definition ist

Zur Berechnung des Taylor-Polynoms bis zum Grad braucht man nur die angeführte Entwicklung des Kosinus bis zum Grad . Das Taylorpolynom bis zum Grad von im Nullpunkt ergibt sich aus

Dabei wurden nur die für den Grad relevanten Monome ausgerechnet. Das gesuchte Taylorpolynom ist also


Aufgabe (3 Punkte)

Begründe den Zusammenhang

für allein mit der Hilfe von Integrationsregeln.


Lösung

Wir betrachten die Substitution

bzw.

Aus den Grenzen und werden dabei die Grenzen und und es gilt

Somit ist


Aufgabe (7 (1+1+2+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Bestimme die Ableitung von .
  2. Bestimme die Tangente zu im Punkt .
  3. Bestimme die Schnittpunkte der Tangente mit dem Funktionsgraphen zu .
  4. Die Tangente und der Funktionsgraph zu schließen eine endliche Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist

    und

    Die Gleichung für die Tangente an diesem Punkt ist also

  3. Wir setzen

    bzw.

    Die Nullstelle und damit der Faktor ist bereits bekannt. Es ist (Division mit Rest)

    Die beiden Schnittpunkte sind also und .

  4. Im relevanten Bereich verläuft unterhalb von . Der eingeschlossene Flächeninhalt ist daher gleich


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.


Lösung

Es ist eine Stammfunktion von . Die Umkehrfunktion zu ist selbst. Die Stammfunktionen zu sind

Deshalb sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich