Kurs:Analysis/Teil I/56/Klausur mit Lösungen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 3 2 3 3 3 4 2 3 8 2 7 3 5 2 6 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Maximum einer Teilmenge in einem angeordneten Körper .
  2. Eine wachsende Folge in einem angeordneten Körper.
  3. Die absolute Konvergenz einer Reihe.
  4. Der Grenzwert einer Funktion

    Teilmenge, in einem Punkt .

  5. Der Differenzenquotient zu einer Funktion

    in einem Punkt einer offenen Menge .

  6. Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.


Lösung

  1. Ein Element mit für alle heißt Maximum von .
  2. Die Folge heißt wachsend, wenn für alle ist.
  3. Eine Reihe

    von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

    konvergiert.

  4. Ein Element heißt Grenzwert von in , wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für jedes aus

    die Abschätzung

    folgt.

  5. Zu , , heißt die Zahl

    der Differenzenquotient von zu und .

  6. Eine Differentialgleichung der Form

    mit zwei auf einem Intervall definierten Funktionen und heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Kettenregel für differenzierbare Abbildungen.
  2. Die Regel von l'Hospital.
  3. Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.


Lösung

  1. Seien und offene Mengen in und seien

    und

    Funktionen mit . Es sei in differenzierbar und sei in differenzierbar. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

    in differenzierbar mit der Ableitung

  2. Es sei ein offenes Intervall und ein Punkt. Es seien

    stetige Funktionen, die auf differenzierbar seien mit und mit für . Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert

    existiert. Dann existiert auch der Grenzwert

    und sein Wert ist ebenfalls .
  3. Es sei eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei eine Stammfunktion von . Dann ist
    eine Stammfunktion der Umkehrfunktion .


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Menge und zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine Bijektion von nach , die und vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.


Lösung

Wir definieren

durch

Diese Abbildung ist bijektiv und besitzt offenbar die gewünschte Vertauschungseigenschaft.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für jede natürliche Zahl die Abschätzung

gilt.


Lösung

Für ergibt sich die Abschätzung durch direktes Nachrechnen. Für wird die Aussage durch Induktion bewiesen. Wir nehmen also an, dass die Aussage für ein schon bewiesen ist und haben sie für zu zeigen. Dies ergibt sich aus

wobei wir in der zweiten Zeile die Induktionsvoraussetzung, in der vierten Zeile die Voraussetzung und in der fünften Zeile den binomischen Lehrsatz angewendet haben.


Aufgabe (2 Punkte)

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge Meter beträgt. Dieser soll auf die Weltbevölkerung ( Milliarden) gleichmäßig aufgeteilt und als Goldwürfel ausgeteilt werden. Welche Seitenlänge hat der Würfel, den jeder Mensch bekommt?


Lösung

Es ist

deshalb ist die Seitenlänge der zu verteilenden Würfel gleich

also Zentimeter.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine rationale Zahl. Zeige, dass genau dann ganzzahlig ist, wenn

gilt.


Lösung

Wenn ganzzahlig ist, so ist auch das Negative davon ganzzahlig und die Gaußklammer gibt einfach die Zahl aus. Wenn umgekehrt nicht ganzzahlig ist, so ist

mit einer ganzen Zahl und

Dann ist

da echt zwischen und liegt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine reelle Folge. Es gelte

für alle . Folgt daraus, dass eine Cauchy-Folge ist?


Lösung

Das muss keine Cauchy-Folge sein. Betrachten wir die harmonische Reihe, also die Folge, die durch

gegeben ist. Es ist dann

und diese Folge erfüllt die Bedingung. Die harmonische Reihe ist aber nach Beispiel 9.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) nicht konvergent und daher auch keine Cauchy-Folge.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Summenfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Lösung

Es seien bzw. die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu

ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Sei

Dann gilt für alle (unter Verwendung der Dreiecksungleichung) die Abschätzung


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige unter Verwendung der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge

wachsend ist.


Lösung

Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung gilt

Dies schreiben wir als

Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit (es sei .) die Abschätzung


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in und in an.


Lösung

Zunächst ist eine Nullstelle und daher ist ein Linearfaktor. Division mit Rest ergibt

Wir müssen also noch die komplexen Nullstellen von bestimmen. Dazu ist

Damit ist

und somit sind die weiteren Nullstellen


Aufgabe (8 (3+2+3) Punkte)

  1. Bestimme ein Polynom vom Grad mit

    und

  2. Bestimme ein normiertes Polynom vom Grad mit

    und

  3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu und zu .


Lösung

  1. Wir machen den Ansatz

    Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

    Elimination von führt auf

    Addition der ersten beiden Gleichungen führt auf

    also

    Dies führt auf

    und

    Somit ist

    also

    und

    Das gesuchte Polynom ist also

  2. Wir machen den Ansatz

    Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

    Dies führt auf

    Die Gleichung ist

    also

    und

    Das gesuchte Polynom ist also

  3. Die -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen zu und zu sind die Nullstellen von

    Wir arbeiten mit . Wegen

    ist eine Nullstelle dieses Polynoms. Die Division mit Rest führt auf

    Es geht also noch um die Nullstellen von

    Diese sind und . Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind demnach


Aufgabe (2 Punkte)

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.


Lösung

Es ist


Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass das Cauchy-Produkt von absolut konvergenten Reihen absolut gegen das Produkt der beiden Summen konvergiert.


Lösung

Wir müssen für die Partialsummen

zeigen, dass gegen den Limes der Folge konvergiert. Es ist

Da die beiden Reihen absolut konvergieren, und und nach Aufgabe 9.27 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) Nullfolgen sind, ist die rechte Seite insgesamt eine Nullfolge. Daher konvergiert die Folge nach Aufgabe 6.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gegen das Produkt der Grenzwerte der beiden Reihen. Die absolute Konvergenz folgt aus dem bisher Bewiesenen mit dem Majorantenkriterium aus der Abschätzung .


Aufgabe (3 Punkte)

Finde die Punkte (bzw. den Punkt) derart, dass die Steigung der Sinusfunktion in gleich der Gesamtsteigung von zwischen und ist.


Lösung

Die Gesamtsteigung ist

Die Ableitung des Sinus ist der Kosinus, es geht also um die Lösungen der Gleichung

mit . Auf diesem Intervall ist die Kosinusfunktion streng fallend und somit gibt es wegen genau eine Lösung, nämlich bei


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die durch

definierte Funktion

Zeige, dass es zu jedem , eine Nullfolge derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

gegen konvergiert.


Lösung

Zu jedem gibt es ein mit . Wir setzen

Dies ist offenbar eine Nullfolge in . Die zugehörigen Differenzenquotienten sind

Also ist die Folge dieser Differenzenquotienten konstant gleich .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Flächeninhalt der Fläche, die durch die -Achse und den Graphen der Funktion

begrenzt wird.


Lösung

Der Graph der Funktion schneidet die -Achse bei . Daher ist der Flächeninhalt gleich dem Betrag des bestimmten Integrals

also gleich .


Aufgabe (6 Punkte)

Löse die logistische Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung


Lösung

Es handelt sich um die zeitunabhängige Differentialgleichung

Eine Stammfunktion zu

ist

Zur Bestimmung der Umkehrfunktion setzen wir

also ist

und somit

und

und somit

Die Lösungen der Differentialgleichung haben also die Form

Die Anfangsbedingung führt auf

also

bzw.

und

Also ist die Lösung gleich