In dieser Vorlesung untersuchen wir mit Mitteln der Differentialrechnung, wann eine Funktion
wobei ein Intervall ist,
(lokale)
Extrema besitzt und wie ihr Wachstumverhalten aussieht. Da man nur reelle Zahlen der Größe nach miteinander vergleichen kann, nicht aber komplexe Zahlen, muss die Wertemenge reell sein. Die Definitionsmenge könnte grundsätzlich beliebig sein, und wir werden im zweiten Semester entsprechende Überlegungen für Funktionen von nach anstellen, hier ist aber die Definitionsmenge bzw. ein Teilintervall davon.
Wir können annehmen, dass ein lokales Maximum in besitzt. Es gibt also ein
mit
für alle
.
Es sei eine Folge mit
,
die gegen
(„von unten“)
konvergiere. Dann ist
und
und somit ist der Differenzenquotient
was sich dann
nach Fakt*****
auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist
.
Für eine Folge mit
gilt andererseits
Daher ist auch
und somit ist insgesamt
.
Man beachte, dass das Verschwinden der Ableitung nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für die Existenz eines Extremums ist. Das einfachste Beispiel für dieses Phänomen ist die Funktion
, ,
die streng wachsend ist, deren Ableitung aber im Nullpunkt verschwindet.
Wenn konstant ist, so ist die Aussage richtig. Es sei also nicht konstant. Dann gibt es ein
mit
.
Sagen wir, dass größer als dieser Wert ist. Aufgrund von
Satz 36.12
gibt es ein
,
wo die Funktion ihr
Maximum
annimmt, und dieser Punkt kann kein Randpunkt sein. Für dieses ist dann
nach
Satz 19.1.
Der vorstehende Satz heißt Satz von Rolle.
Der folgende Satz heißt Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Er besagt beispielsweise, dass bei einem differenzierbaren Bewegungsvorgang die Durchschnittsgeschwindigkeit mindestens einmal als Momentangeschwindigkeit auftritt.
(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn wachsend ist, und
ist, so gilt für den
Differenzenquotienten
für jedes mit
.
Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert für , und dieser ist .
Es sei umgekehrt die Ableitung .
Nehmen wir an, dass es zwei Punkte
in mit
gibt. Aufgrund des
Mittelwertsatzes
gibt es dann ein mit
mit
im Widerspruch zur Voraussetzung.
(2). Es sei nun
mit nur endlich vielen Ausnahmen.
Angenommen es wäre
für zwei Punkte
. Da nach dem ersten Teil wachsend ist, ist auf dem Intervall konstant. Somit ist
auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass nur endlich viele Nullstellen besitzt.
Zur Ermittlung des Grenzwertes benutzen wir das
Folgenkriterium. Da im Intervall keine Nullstelle besitzt und
ist, besitzt auch nach
Satz 19.2
außer keine Nullstelle. Es sei eine
Folge
in , die gegen konvergiert.
Zu jedem gibt es nach
Satz 19.7,
angewandt auf
bzw. ,
ein
(im Innern von )
mit
Die Folge konvergiert ebenfalls gegen , sodass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen
konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen , und wegen
bedeutet das, dass gegen konvergiert.