Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 31
- Übungsaufgaben
Es sei
eine wachsende Funktion und . Zeige, dass die Folge , , genau dann gegen konvergiert, wenn
gilt, wenn also die Funktion für den Grenzwert besitzt.
Es sei ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und seien Funktionen derart, dass die Grenzwerte und existieren. Zeige, dass folgende Beziehungen gelten.
- Die Summe besitzt einen Grenzwert für , und zwar ist
- Das Produkt besitzt einen Grenzwert für , und zwar ist
- Es sei für alle und . Dann besitzt der Quotient einen Grenzwert für , und zwar ist
Es sei ein Intervall, ein (uneigentlicher) Randpunkt von und
eine stetige Funktion. Zeige, dass die Existenz des uneigentlichen Integrals
nicht vom gewählten Startpunkt abhängt.
Es sei ein beschränktes offenes Intervall und
eine stetige Funktion, die sich auf stetig fortsetzen lässt. Zeige, dass dann das uneigentliche Integral
existiert und mit dem bestimmten Integral
übereinstimmt.
Formuliere und beweise Rechenregeln für uneigentliche Integrale (analog zu Lemma 23.16).
Bestimme das uneigentliche Integral
a) Sei
eine monoton fallende stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
existiert. Zeige, dass
ist.
b) Man zeige durch ein Beispiel, dass die Aussage in a) für eine stetige, nicht monoton fallende Funktion nicht gelten muss.
Es sei
eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion
Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.
Berechne das uneigentliche Integral
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Berechne die Energie, die nötig wäre, um die Erde, ausgehend von der jetzigen Lage relativ zur Sonne, unendlich weit von der Sonne zu entfernen.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (8 Punkte)
(Versuche nicht, eine Stammfunktion für den Integranden zu finden.)
Aufgabe (5 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine unbeschränkte, stetige Funktion
derart, dass das uneigentliche Integral existiert.
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein beschränktes Intervall und es sei
eine stetige Funktion. Es sei eine fallende Folge in mit dem Grenzwert und eine wachsende Folge in mit dem Grenzwert . Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass die Folge
gegen das uneigentliche Integral konvergiert.
- Aufgaben zum Hochladen[1]
Aufgabe (5 Punkte)
Man fertige eine Skizze an, die die eulersche Konstante als einen Flächeninhalt darstellt.
- Fußnoten
- ↑ Bei einer Aufgabe zum Hochladen geht es darum, ein Bild (Animation etc.) mit einem Programm zu erstellen, über Commons hochzuladen (genau kategorisieren) und es in den Kurs einzubinden (siehe Materialseite des Kurses). Die Arbeit muss in einem auf Commons erlaubten Format erstellt und unter die CC-by-sa 3.0-Lizenz gestellt werden. Unbedingt das Urheberrecht beachten! Es gibt keinen genauen Abgabetermin, Nachbesserungen sind möglich und erwünscht. Bewertung letztlich durch den Dozenten. Die Gutschrift auf das Punktekonto erfolgt am Ende des Semesters vor der Klausur.
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