Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 62/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Es sei ein metrischer Raum. Zeige, dass in die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten und gibt es offene Mengen und mit
Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum jeder Punkt abgeschlossen ist.
Es sei ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass dann auch jeder Unterraum mit der induzierten Topologie eine abzählbare Basis besitzt.
Es sei ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass es zu jeder Überdeckung mit offenen Mengen eine abzählbare Teilüberdeckung gibt.
Es sei ein topologischer Raum und sei die davon erzeugte Mengenalgebra. Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen
mit offenen Mengen und abgeschlossenen Mengen besteht.
Es sei ein Maßraum. Zeige, dass die Menge der Nullmengen von ein Mengen-Präring ist.
Es sei ein Maßraum. Zeige, dass die Mengen
einen Mengen-Präring, aber im Allgemeinen keine Mengen-Algebra bilden.
Es sei ein Messraum und und seien Maße darauf.
a) Ist die durch
für definierte Abbildung ein Maß?
b) Ist die durch
für definierte Abbildung ein Maß?
Es sei ein Messraum, der als abzählbare disjunkte Vereinigung
mit gegeben ist. Es seien , , Maße auf . Zeige, dass es ein eindeutiges Maß auf derart gibt, dass die Einschränkungen von auf die mit übereinstimmen.
Bestimme die Belegungsfunktion zu einem Dirac-Maß.
Man mache sich klar, dass die Maßtheorie auf den natürlichen Zahlen „nahezu“ äquivalent ist zur Theorie der Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden. Warum nur nahezu? Welches maßtheoretische Konzept korrespondiert dabei zur Konvergenz der Reihe?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es eine abzählbare Familie von offenen Bällen im gibt, die eine Basis der Topologie bilden.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Hausdorff-Raum und es seien zwei disjunkte endliche Teilmengen. Zeige, dass es offene Mengen mit , und mit gibt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es auf jedem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ein wohldefiniertes Konzept von Borel-Mengen gibt.
Aufgabe (7 Punkte)Referenznummer erstellen
- Fußnoten
- ↑ Dieses Maß nennt man das mit umskalierte Maß.
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