Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 33

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es seien ${}P=\left({\frac {3}{4}},\,-1\right)$ und ${}Q=\left(2,\,{\frac {1}{5}}\right)$ zwei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.

Aufgabe

Zeige, dass die Summenmetrik im ${}\mathbb {R} ^{n}$ eine Metrik ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Maximumsmetrik im ${}\mathbb {R} ^{n}$ eine Metrik ist.

Aufgabe

Es sei ${}n\geq 2$. Zeige, dass für die Norm ${}\Vert {x}\Vert :=\operatorname {max} \{\vert {x_{i}}\vert :1\leq i\leq n\}$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ kein Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ mit der Eigenschaft ${}\Vert {x}\Vert ={\sqrt {\left\langle x,x\right\rangle }}$ existiert.

Aufgabe

Es sei ${}M$ die Parabel, also der Graph der Quadratfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}.$

Entscheide, ob auf ${}M$ durch

${}d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})):=\vert {x_{1}-x_{2}}\vert \,$

bzw. durch

${}d_{2}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})):=\vert {y_{1}-y_{2}}\vert \,$

eine Metrik definiert wird.

Kommentar:

Auf dem ersten Blick sehen beide Metriken sehr ähnlich aus und dadurch, dass der Absolutbetrag genommen wird sind einige Eigenschaften einer Metrik direkt gegeben. Sowohl ${}d_{1}$ als auch ${}d_{2}$ sind immer nicht negative reelle Zahlen und die Symmetrie ist gegeben, denn für zwei reelle Zahlen ${}a,b\in \mathbb {R}$ gilt

$\vert {a-b}\vert =\vert {-(a-b)}\vert =\vert {b-a}\vert .$

Als nächstes nehmen wir die Definitheit. Für ${}d_{1}$ hilft die Eigenschaft einer jeden Funktion, dass die Punkte aus dem Definitionsbereich genau einmal abgebildet werden, das heißt jeder ${}x-$Wert aus dem Definitionsbereich kommt genau einmal bei einem Punkt aus dem Graphen vor. Daher ist der Abstand der ${}x$-Werte zweier Punkte aus der Parabel dann und nur dann Null, wenn es dieselben Punkte sind. Damit haben wir die Definitheit von ${}d_{1}$. Bei ${}d_{2}$ ist dies anders. Das Problem ist, dass die Quadratfunktion nicht injektiv ist, z.B. gilt

$(-1)^{2}=1=1^{2}.$

Daher sind die Punkte ${}(-1,1)$ und ${}(1,1)$ ein Gegenbeispiel für die Definitheit von ${}d_{2}$. ${}d_{2}$ ist somit keine Metrik auf der Parabel. Wäre die Menge ${}M$ eine andere im ${}\mathbb {R} ^{2}$, z.B. die ${}y$-Achse kann ${}d_{2}$ aber durchaus eine Metrik sein. Die Eigenschaft einer Funktion, eine Metrik zu sein, hängt demnach auch von ihrem Definitionsbreich ab.

Es bleibt für ${}d_{1}$ noch die Dreiecksungleichung zu zeigen. Dies ist üblicherweise die am schwierigsten zu zeigende Eigenschaft einer Metrik. Da der Absolutbetrag aber die Dreiecksungleichung auf den reellen Zahlen erfüllt, haben wir es leichter. Sei ${}(x_{3},y_{3})$ ein dritter Punkt auf der Parabel, dann gilt durch Hinzuaddieren und direkt wieder Subtrahieren

$d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\vert {x_{1}-x_{2}}\vert =\vert {x_{1}-x_{3}+x_{3}-x_{2}}\vert .$

Jetzt nutzen wir die Dreiecksungleichung des Absolutbetrages und erhalten

$\vert {x_{1}-x_{3}+x_{3}-x_{2}}\vert \leq \vert {x_{1}-x_{3}}\vert +\vert {x_{3}-x_{2}}\vert .$

Auf der rechten Seite haben wir die Abstände des ersten Punktes zum zweiten und des zweiten Punktes zum dritten, gemessen in der Metrik ${}d_{1}$ und damit insgesamt

$d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))\leq d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{3},y_{3}))+d_{1}((x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}))$

Damit ist ${}d_{1}$ auf der Parabel eine Metrik.

 

Aufgabe

Es sei

${}K={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

der Einheitskreis. Zeige, dass man auf ${}K$ eine Metrik definieren kann, indem man ${}d(P,Q)$ ($P,Q\in K$) als den positiven Winkel zwischen den zugehörigen Strahlen durch den Nullpunkt ${}(0,0)$ ansetzt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine stetige konkave Funktion mit ${}f(0)=0$ und ${}f(t)>0$ für ${}t>0$ und sei

$d\colon M\times M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine Metrik. Zeige, dass dann auch ${}f\circ d$ eine Metrik ist.

Aufgabe

Es seien ${}(M_{1},d_{1})$ und ${}(M_{2},d_{2})$ metrische Räume. Zeige, dass auf der Produktmenge ${}M_{1}\times M_{2}$ durch

${}d((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))={\sqrt {d_{1}(x_{1},y_{1})^{2}+d_{2}(x_{2},y_{2})^{2}}}\,$

eine Metrik gegeben ist.

Aufgabe

Zeige, dass auf jeder Menge ${}M$ die diskrete Metrik in der Tat eine Metrik ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten.

1. Die leere Menge ${}\emptyset$ und die Gesamtmenge ${}M$ sind offen.
2. Es sei ${}I$ eine beliebige Indexmenge und seien ${}U_{i}$, ${}i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung

   $\bigcup _{i\in I}U_{i}$

   offen.
3. Es sei ${}I$ eine endliche Indexmenge und seien ${}U_{i}$, ${}i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt

   $\bigcap _{i\in I}U_{i}$

   offen.

Aufgabe *

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ offen sind.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die abgeschlossenen Kugeln ${}B\left(x,\epsilon \right)$ abgeschlossen sind.

Aufgabe *

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die offenen Bälle ${}U=U{\left((0,0),1\right)}$ und ${}V=U{\left((2,0),2\right)}$. Man gebe für jeden Punkt

${}x=(a,b)\in U\cap V\,$

einen expliziten offenen Ball mit Mittelpunkt ${}x$ an, der ganz innerhalb von ${}U\cap V$ liegt.

Aufgabe

Zeige, dass auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ die euklidische Metrik, die Summenmetrik und die Maximumsmetrik dieselben offenen Mengen definieren.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass in ${}M$ die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten ${}x$ und ${}y$ gibt es offene Mengen ${}U$ und ${}V$ mit

$x\in U{\text{ und }}y\in V{\text{ und }}U\cap V=\emptyset .$

Aufgabe *

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass jede endliche Teilmenge ${}T\subseteq M$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen in ${}{\mathbb {C} }$ abgeschlossen ist.

Kommentar:

Da wir Abgeschlossenheit in ${}{\mathbb {C} }$ untersuchen sollen, steht schon einmal fest, dass ${}{\mathbb {C} }$ die Menge des zugrunde liegenden metrischen Raumes ist. Es werden aber keine genaueren Angaben zur Metrik gemacht. Deswegen nehmen wir die Standardmetrik der komplexen Zahlen, den komplexen Betrag bzw. den euklidischen Abstand. Somit befinden wir uns im metrischen Raum ${}({\mathbb {C} },\vert {\cdot }\vert )$.

Die Abgeschlossenheit einer Menge ist dadurch definiert, dass ihr Komplement im metrischen Raum offen ist. In unserem Fall heißt das, wir müssen zeigen, dass ${}{\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R}$ offen ist. Dafür erinnern wir uns daran, dass eine Menge ${}M$ offen ist, wenn für jeden Punkt ${}x\in M$ eine offene ${}\epsilon$-Kugel ${}U(x,\epsilon )$ existiert, die ganz in ${}M$ liegt (diese darf dabei beliebig klein sein, das heißt, dass ${}\epsilon$ beliebig klein aber ungleich ${}0$ gewählt werden darf), also ${}U(x,\epsilon )\subset M$ ist. In unserer Situation für die Menge ${}{\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R}$ ist anschaulich klar, dass falls wir weit weg von der reellen Achse sind, es kein Problem ist für ein dortiges Element eine ${}\epsilon$-Kugel zu finden, die ganz in ${}{\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R}$ liegt, also die reelle Achse nicht trifft. Nah an der reellen Achse, ist dies erst einmal nicht mehr ganz so einfach. Aber auch hier lassen sich solche Kugeln finden, wir müssen den Radius, also das ${}\epsilon$ nur klein genug wählen. Das können wir auch ganz präzise machen. Wenn ${}z=x+{\mathrm {i} }y\in {\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R}$ eine komplexe Zahl mit Realteil ${}x$ und Imaginärteil ${}y$ ist, entspricht der Abstand von ihr zur reellen Achse dem reellen Betrag ihres Imaginärteils, ${}\vert {y}\vert$. Jetzt nehmen wir einfach die ${}\epsilon$-Kugel mit ${}\epsilon =\vert {y}\vert /2$. Diese berührt nicht die reelle Achse. Dieses Vorgehen kann natürlich mit jeder komplexen Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R}$ gemacht werden. Deshalb ist die Gesamtmenge ${}{\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R}$ in ${}{\mathbb {C} }$ offen und ihr Komplement ${}\mathbb {R}$ in ${}{\mathbb {C} }$ abgeschlossen.

 

Aufgabe

Zeige, dass die Menge

$S={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$

in ${}\mathbb {R} ^{2}$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ in ${}\mathbb {R}$ weder offen noch abgeschlossen ist.

Aufgabe *

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass eine Teilmenge ${}Z\subseteq T$ genau dann offen in ${}T$ ist, wenn es eine in ${}M$ offene Menge ${}U$ mit ${}Z=T\cap U$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge, die mit der diskreten Metrik versehen sei. Zeige, dass jede Teilmenge von ${}M$ sowohl offen als auch abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem metrischen Raum ${}M$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen ${}x\in M$ konvergiert, wenn die Folge der Abstände ${}d(x_{n},x)$ in ${}\mathbb {R}$ gegen ${}0$ konvergiert.

Kommentar:

Im Grunde genommen muss man sich hier nur die beiden Definitionen der Konvergenz im metrischen Raum und der Konvergenz reeller Zahlen erneut ins Gedächtnis rufen. In einem metrischen Raum ${}(M,d)$ konvergiert die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x\in M$, falls zu jedem ${}\epsilon \in \mathbb {R}$, ${}\epsilon >0$, ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart existiert, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

${}d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon \,$

gilt. Nun ist ${}d{\left(\cdot ,\cdot \right)}$ eine Metrik und liefert somit immer eine nichtnegative reele Zahl. Das heißt, die Beziehung

${}d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon \,$

können wir äquivalent umschreiben zu

${\vert d{\left(x_{n},x\right)}-0\vert \leq \epsilon }.$

Haben wir nun eine gegen ${}x\in M$ konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ im metrischen Raum ${}(M,d)$, haben wir die dazu äquivalente Aussage, zu jedem ${}\epsilon \in \mathbb {R}$, ${}\epsilon >0$, existiert ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart existiert, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

${\vert d{\left(x_{n},x\right)}-0\vert \leq \epsilon }$

gilt. Dies ist aber nichts anderes als die Aussage, dass die reelle Zahlenfolge ${}(d(x_{n},x))_{n\in \mathbb {N} }$ gegen Null in ${}\mathbb {R}$ konvergiert.

 

Aufgabe

Zeige, dass eine Folge in einem metrischen Raum maximal einen Grenzwert besitzt.

Aufgabe

Entscheide, ob im ${}\mathbb {R} ^{3}$ (versehen mit der euklidischen Metrik) die Folge

$x_{n}=\left({\frac {n^{5}-4n^{2}}{e^{n}}},\,{\frac {-5n^{4}+n^{3}-n^{-1}}{13n^{4}-9n^{2}+5n+6}},\,{\frac {4\cos ^{3}n+6n^{2}+5n-2}{2n^{2}-\sin ^{7}n}}\right)$

konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Zu einem Dreieck ${}\triangle =(A,B,C)$ ist das Seitenmittelpunktsdreieck durch die Eckpunkte ${}{\frac {1}{2}}(A+B),{\frac {1}{2}}(A+C),{\frac {1}{2}}(B+C)$ gegeben. Diese Konstruktion ergibt eine rekursiv definierte Folge von Dreiecken ${}\triangle _{n}$, wobei ${}\triangle _{1}=\triangle$ und ${}\triangle _{n+1}$ das Seitenmittelpunktsdreieck zu ${}\triangle _{n}$ ist. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit ${}x_{n}\in \triangle _{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass diese Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert.

Aufgabe

Zeige, dass eine konvergente Folge in einem metrischen Raum genau einen Häufungspunkt besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$. Zeige, dass die Menge aller Häufungspunkte dieser Folge abgeschlossen ist.

Aufgabe *

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem metrischen Raum ${}M$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen ${}x\in M$ konvergiert, wenn in jeder offenen Menge ${}U$ mit ${}x\in U$ alle bis auf endlich viele Folgenglieder liegen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Entscheide, ob für vier Punkte ${}A,B,C,X$ in der euklidischen Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ stets die Abschätzung

${}d(A,B)+d(B,C)\leq d(A,X)+d(B,X)+d(C,X)\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}P$ und ${}Q$ zwei verschiedene Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$ und ${}G$ die dadurch definierte Gerade. Zeige, dass ${}G$ abgeschlossen in ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist.

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

a) Definiere auf der Einheitssphäre, also der Kugeloberfläche

$S={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}},$

die „geodätische Metrik“, bei der der Abstand zweier Punkte ${}P,Q\in S$ durch die Länge der kürzesten Verbindung auf der Oberfläche gegeben ist.

b) Zeige, dass es sich um eine Metrik handelt.

c) Welchen Abstand besitzen die Punkte ${}(0,0,1)$ und ${}(1,0,0)$ in der euklidischen und in der geodätischen Metrik?

Die kürzeste Verbindung liegt auf dem Großkreis, den man enthält, wenn man die Kugeloberfläche mit der durch ${}P,Q,(0,0,0)$ gegebenen Ebene schneidet (wann definieren diese drei Punkte keine Ebene?). Die Formel für den Kreisumfang und die Tatsache, dass der Winkel proportional zur Bogenlänge ist, darf verwendet werden.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$, die gegen ${}x\in M$ konvergiere. Es sei ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine weitere Folge derart, dass die Abstände ${}d{\left(x_{n},y_{n}\right)}$ eine Nullfolge in ${}\mathbb {R}$ sei. Zeige, dass auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$. Zeige, dass ein Punkt ${}x\in M$ genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn es eine gegen ${}x$ konvergente Teilfolge gibt.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}z_{n}=\left(x_{n},\,y_{n}\right)$ eine Folge im ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden reellen Komponentenfolgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ bzw. ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegeben sei, und sei ${}z=(x,y)$ ein Punkt. Beweise oder widerlege die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}z$ ein Häufungspunkt von ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist, dann ist ${}x$ ein Häufungspunkt von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}y$ ein Häufungspunkt von ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
2. Wenn ${}x$ ein Häufungspunkt von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}y$ ein Häufungspunkt von ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist, dann ist ${}z$ ein Häufungspunkt von ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.