Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 32



Übungsaufgaben

Es sei und betrachte die Funktion

Bestimme die Extremwerte dieser Funktion.



Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für die Beziehung

gilt.



a) Zeige, dass für die Abschätzung

gilt.

b) Zeige, dass die Funktion mit

für monoton wachsend ist.

c) Zeige, dass gilt.

d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für die Abschätzung

gilt.



Zeige, dass das Standardskalarprodukt auf dem in der Tat ein Skalarprodukt ist.



Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf ebenfalls ein Skalarprodukt ist.



Es seien und zwei euklidische Vektorräume. Zeige, dass durch

ein Skalarprodukt auf dem Produktraum definiert wird.



Es sei ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass der Realteil dieses Skalarproduktes ein Skalarprodukt auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.



Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?



Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm .

a) Zeige, dass bei die Beziehung

gilt.


b) Zeige, dass bei die Beziehung



Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Bestätige



Es seien

mit und . Berechne im Sinne von Beispiel 32.9.



Es sei ein abgeschlossenes reelles Intervall mit und sei . Zu und sei

Welche Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt , welche nicht? Welche Beziehung besteht zwischen und dem Skalarprodukt aus Beispiel 32.9?



Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass in der Abschätzung

von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn und linear abhängig sind.



Zeige, dass für die Abschätzung

gilt.

Tipp: Siehe Aufgabe 21.6.

Zwei Vektoren heißen orthogonal (oder senkrecht) zueinander, wenn ist. Nach Bemerkung 32.12 beträgt dann der Winkel zwischen ihnen .


Bestimme, welche der folgenden Vektoren im zueinander orthogonal bezüglich des Standardskalarproduktes sind.



Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Beweise den Satz des Pythagoras: Für zwei Vektoren , die senkrecht aufeinander stehen, gilt die Beziehung



Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?


Ein Skalarprodukt ermöglicht es, von Orthonormalbasen zu sprechen.

Es sei ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis von heißt Orthonormalbasis, wenn

gilt.



Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei , , eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass für Vektoren und die Gleichheit

gilt.



Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften besitzt (dabei sind ).

  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn .
  3. Es ist .
  4. Es ist



Es sei ein - Vektorraum mit einem Skalarprodukt und seien Vektoren. Zeige, dass genau dann senkrecht auf steht, wenn die Abstandsgleichung

gilt.



Zeige, dass die Norm zum komplexen Standardskalarprodukt auf einfach der komplexe Betrag ist.



Es sei ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass die Norm zu diesem Skalarprodukt mit der Norm übereinstimmt, die man erhält, wenn man als reellen Vektorraum mit dem zugehörigen reellen Skalarprodukt auffasst.



Zeige, dass die Funktionen

mit

zu im Raum der stetigen Funktionen von nach ein Orthonormalsystem bezüglich des durch

gegebenen Skalarproduktes bilden. Verwende dabei Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass für die Fakultätsfunktion die Beziehung

gilt.



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

gilt.



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum und sei eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass für jeden Vektor die Beziehung

gilt.



Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

mit und . Berechne

im Sinne von Beispiel 32.9.



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