Lösung
- Man nennt den Kreis mit dem Radius
-
und dem Mittelpunkt
-
den
Krümmungskreis
zu in .
- Eine abgeschlossene Teilmenge heißt abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem Punkt eine
Karte
gibt mit
offen,
,
offen und mit
-
- Der Tangentialraum besteht aus allen Äquivalenzklassen von tangential äquivalenten differenzierbaren Wegen durch diesen Punkt.
- Eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
mit einem
Atlas
heißt orientiert, wenn jede Karte
orientiert
ist und wenn sämtliche Kartenwechsel
orientierungstreu
sind.
- Der Rand von ist durch
-
definiert, wobei Karten sind.
- Es sei die inverse Matrix zu . Man nennt
(die auf definierten reellwertigen Funktionen)
-
die
Christoffelsymbole
für den Levi-Civita-Zusammenhang.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über das Bild der
Gauß-Abbildung
eine Hyperfläche.
- Die Formel für den Flächeninhalt einer Rotationsfläche zu einer
differenzierbaren Kurve
-
mit
.
- Die
Produktregel
für die äußere Ableitung.
Lösung
- Es sei
eine
offene Teilmenge
und sei
-
eine
stetig differenzierbare Funktion. Die
Faser
von zu
sei
kompakt
und in jedem Punkt
regulär.
Dann ist die
Gauß-Abbildung
-
surjektiv.
- Es sei
-
eine
differenzierbare Kurve
mit
, die einen
Diffeomorphismus
zu
induziere, wobei
eine eindimensionale
abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
in einer offenen Menge
sei.
Dann ist die zugehörige
Rotationsfläche
eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ohne die -Achse, und ihr Flächeninhalt ist gleich
-
- Es sei
offen
und es seien
und
differenzierbare Differentialformen auf .
Dann gilt die Produktregel
-
Lösung
- Das totale Differential ist
-
in führt das auf
-
- Wir machen den Ansatz
-
mit einem gesuchten Skalar
und dem gesuchten tangentialen Vektor . Es ist
-
Wegen
-
ist
-
und damit
-
Die orthogonale Zerlegung ist also
-
- Wir schreiben die Flächengleichung
als
-
wobei im Punkt die positive Wurzel zu nehmen ist. Dies ist eine Parametrisierung der Fläche in einer offenen Umgebung von , wobei der Tangentialraum in in den Tangentialraum abgebildet wird.
Lösung
Es ist
-
-
und
-
Eine Kreisbewegung, die mit der vorgegebenen Bewegung für
bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt, muss insbesondere die gleiche Tangente in diesem Punkt haben. Daher muss der Kreismittelpunkt auf der -Achse liegen. Ferner muss er links von liegen, da die Beschleunigung nach links wirkt. Wir können daher eine gesuchte uniforme Kreisbewegung mit dem Mittelpunkt
()
und dem Radius als
-
ansetzen. Es ist
-
Ferner ist
-
und
-
Wenn die geforderten Bedingungen also erfüllt sein sollen, muss
-
und
-
gelten. Dies ergibt
-
und somit
-
und
-
Beweise den Satz über die Krümmung auf einer implizit gegebenen ebenen Kurve.
Lösung
Es sei
eine Bogenparametrisierung der Kurve in einer Umgebung von mit
,
die mit der gegebenen Orientierung übereinstimmt. Das totale Differential
-
ist linear, daher genügt es, die Aussage für den Vektor zu zeigen. Nach
der Kettenregel
ist
-
Dieser Vektor ist ein Vielfaches von und daher ist dies gleich
-
Wegen der Orthogonalitätsbedingung ist
-
für alle
und daher
-
Also ist
-
nach
Lemma 3.8 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)).
Lösung
Wir wählen
und
und
-
und
-
Dann ist
-
und
-
Beweise die Aussage, dass die tangentiale Äquivalenz von Wegen auf einer Mannigfaltigkeit in einem Punkt mit einer beliebigen Karte überprüft werden kann.
Lösung
Zeige, dass die Tangentialabbildung zu
-
surjektiv ist.
Lösung
Die Abbildung ist surjektiv, es ist also lediglich zu zeigen, dass für jedes die lineare Tangentialabbildung
-
surjektiv ist. Da beide Räume eindimensional sind, muss gezeigt werden, dass ein von verschiedener Vektor nicht auf geht. Ein Tangentialvektor an wird realisiert durch den differenzierbaren Weg
-
Der verknüpfte Weg
-
realisiert den Bild-Tangentialvektor, und zwar ist
(in der umgebenden Ebene )
-
und das ist nicht der Nullvektor.
Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen
-
(mit )
und
-
und die Differentialform
-
auf dem .
a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .
b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg in Abhängigkeit von .
Lösung
a) Die zurückgezogene Differentialform ist
b) Das Wegintegral ist
Lösung
Es sei und . Dann ist
Lösung Mannigfaltigkeit mit Rand/Eindimensional/Beispiele/Aufgabe/Lösung
Es sei
-
eine
stetig differenzierbare Funktion.
Wir fassen den
Subgraphen
als eine
Mannigfaltigkeit mit Rand
auf, wobei der Rand aus dem Graphen, dem Grundintervall und den beiden Seitenkanten, aber ohne die vier Eckpunkte besteht. Bestätige den Satz von Stokes direkt für die
Differentialform
.
Lösung
Wegen
-
ist einerseits
-
der Flächeninhalt des Subgraphen, wobei eine Stammfunktion von sei. Für das Kurvenintegral müssen wir den Rand von gegen den Uhrzeigersinn parametrisieren. Das Grundintervall wird durch parametrisiert, dabei ist
-
dieser Ausschnitt des Wegintegrals ist also . Für die Seite rechts ist
,
eine Parametrisierung, wobei zwischen
und
wandert. Dabei ist
-
und das Wegintegral darüber ist . Der Beitrag der Kante links ist . Der Graph wird durch
-
parametrisiert. Dabei ist
-
Das Integral ist mit dem richtigen Vorzeichen gleich
Das gesamte Wegintegral ist somit ebenfalls
Beweise den Brouwerschen Fixpunktsatz.
Lösung
Zur Notationsvereinfachung sei
. Nehmen wir an, dass es eine fixpunktfreie stetig differenzierbare Abbildung geben würde. Dann ist stets
-
sodass die beiden Punkte eine Gerade definieren. Die Idee ist, mittels dieser Geraden einen
(der beiden)
Durchstoßungspunkt mit der Sphäre als Bildpunkt einer Retraktion auf den Rand zu nehmen. Mit der Hilfsfunktion
-
definieren wir eine Abbildung
-
durch
-
Dabei ist der Ausdruck unter der Wurzel positiv. Dies ist bei
klar und bei
liegt ein Punkt auf der Sphäre vor, dessen Verbindungsgerade mit dem Kugelpunkt nicht senkrecht zu ist
(der affine Tangentialraum zu einem Punkt der Sphäre trifft eine Kugel nur in einem Punkt),
sodass
-
ist. Da die Quadratwurzel und der Betrag außerhalb des Nullpunktes
stetig differenzierbar
sind, handelt es sich bei
und bei
um stetig differenzierbare Abbildungen. Die Abbildung bildet nach
Aufgabe 23.23 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))
die Kugel auf die Sphäre ab und ihre Einschränkung auf die Sphäre ist die Identität. Damit liegt eine stetig differenzierbare
Retraktion
der abgeschlossenen Vollkugel auf ihren Rand vor, was nach
Satz 23.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))
nicht sein kann.
Wir betrachten den Zylinder
mit dem
trivialen Zusammenhang
auf seinem
Tangentialbündel.
- Bestimme in einer geeigneten isometrischen Karte die
geodätische Differentialgleichung
für diejenige geodätische Kurve auf , die
-
und
-
erfüllt.
- Löse die Differentialgleichung aus (1) in der Karte.
- Finde eine geodätische Kurve in , die die Bedingungen aus (1) erfüllt.
Lösung
- Wir betrachten die isometrische
(inverse)
Karte
-
Dabei ist
.
Die Christoffelsymbole sind trivial, daher ist die geodätische Differentialgleichung gleich
-
Die angegebenen Bedingungen bedeuten auf der Karte
-
und
-
- Eine Lösung in der Karte ist
-
- Eine geodätische Kurve mit den Anfangsbedingungen ist daher
-