Kurs:Differentialgeometrie/1/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 6 5 5 2 5 5 7 3 2 5 9 5 65




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Krümmungskreis zu einer zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve Es sei

    in einem Punkt .

  2. Eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
  3. Der Tangentialraum in einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
  4. Eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit .
  5. Der Rand einer Mannigfaltigkeit mit Rand.
  6. Die Christoffelsymbole für den Levi-Civita-Zusammenhang zu einer riemannschen Struktur auf einer offenen Menge .


Lösung

  1. Man nennt den Kreis mit dem Radius

    und dem Mittelpunkt

    den Krümmungskreis zu in .

  2. Eine abgeschlossene Teilmenge heißt abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem Punkt eine Karte gibt mit offen, , offen und mit
  3. Der Tangentialraum besteht aus allen Äquivalenzklassen von tangential äquivalenten differenzierbaren Wegen durch diesen Punkt.
  4. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Atlas heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.
  5. Der Rand von ist durch

    definiert, wobei Karten sind.

  6. Es sei die inverse Matrix zu . Man nennt (die auf definierten reellwertigen Funktionen)

    die Christoffelsymbole für den Levi-Civita-Zusammenhang.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das Bild der Gauß-Abbildung eine Hyperfläche.
  2. Die Formel für den Flächeninhalt einer Rotationsfläche zu einer differenzierbaren Kurve

    mit

    .
  3. Die Produktregel für die äußere Ableitung.


Lösung

  1. Es sei eine offene Teilmenge und sei

    eine stetig differenzierbare Funktion. Die Faser von zu sei kompakt und in jedem Punkt regulär.

    Dann ist die Gauß-Abbildung

    surjektiv.
  2. Es sei

    eine differenzierbare Kurve mit , die einen Diffeomorphismus zu induziere, wobei eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge sei.

    Dann ist die zugehörige Rotationsfläche eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ohne die -Achse, und ihr Flächeninhalt ist gleich

  3. Es sei offen und es seien und differenzierbare Differentialformen auf . Dann gilt die Produktregel


Aufgabe (6 (1+2+3) Punkte)

Es sei die Hyperfläche, die durch die Bedingung

im gegeben ist. Es sei und .

  1. Bestimme den Tangentialraum .
  2. Bestimme die orthogonale Zerlegung in die tangentiale und in die orthogonale Komponente zum Punkt .
  3. Realisiere die tangentiale Komponente von in durch eine differenzierbare Kurve, die ganz auf verläuft.


Lösung

  1. Das totale Differential ist

    in führt das auf

  2. Wir machen den Ansatz

    mit einem gesuchten Skalar und dem gesuchten tangentialen Vektor . Es ist

    Wegen

    ist

    und damit

    Die orthogonale Zerlegung ist also

  3. Wir schreiben die Flächengleichung als

    wobei im Punkt die positive Wurzel zu nehmen ist. Dies ist eine Parametrisierung der Fläche in einer offenen Umgebung von , wobei der Tangentialraum in in den Tangentialraum abgebildet wird.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

mit einem . Man zeige, dass es keine andere Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit für bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt.


Lösung

Es ist

und

Eine Kreisbewegung, die mit der vorgegebenen Bewegung für bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt, muss insbesondere die gleiche Tangente in diesem Punkt haben. Daher muss der Kreismittelpunkt auf der -Achse liegen. Ferner muss er links von liegen, da die Beschleunigung nach links wirkt. Wir können daher eine gesuchte uniforme Kreisbewegung mit dem Mittelpunkt () und dem Radius als

ansetzen. Es ist

Ferner ist

und

Wenn die geforderten Bedingungen also erfüllt sein sollen, muss

und

gelten. Dies ergibt

und somit

und


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Krümmung auf einer implizit gegebenen ebenen Kurve.


Lösung

Es sei eine Bogenparametrisierung der Kurve in einer Umgebung von mit , die mit der gegebenen Orientierung übereinstimmt. Das totale Differential

ist linear, daher genügt es, die Aussage für den Vektor zu zeigen. Nach der Kettenregel ist

Dieser Vektor ist ein Vielfaches von und daher ist dies gleich

Wegen der Orthogonalitätsbedingung ist

für alle und daher

Also ist

nach Lemma 3.8 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)).


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für differenzierbare Mannigfaltigkeiten und mit und differenzierbare Abbildungen und derart, dass und gilt.


Lösung

Wir wählen und und

und

Dann ist

und


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Aussage, dass die tangentiale Äquivalenz von Wegen auf einer Mannigfaltigkeit in einem Punkt mit einer beliebigen Karte überprüft werden kann.


Lösung

Für eine differenzierbare Kurve

mit und und eine Karte

(mit und ) ändert sich der Ausdruck

nicht, wenn man zu einem kleineren offenen Intervall und einer kleineren offenen Menge (mit der induzierten Karte) übergeht. Wir können also davon ausgehen, dass und auf dem gleichen Intervall definiert sind und ihre Bilder in liegen, und dass es für dieses zwei Karten

und

gibt. Dann folgt aus

nach der Kettenregel unter Verwendung der Differenzierbarkeit der Übergangsabbildung sofort


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Tangentialabbildung zu

surjektiv ist.


Lösung

Die Abbildung ist surjektiv, es ist also lediglich zu zeigen, dass für jedes die lineare Tangentialabbildung

surjektiv ist. Da beide Räume eindimensional sind, muss gezeigt werden, dass ein von verschiedener Vektor nicht auf geht. Ein Tangentialvektor an wird realisiert durch den differenzierbaren Weg

Der verknüpfte Weg

realisiert den Bild-Tangentialvektor, und zwar ist (in der umgebenden Ebene )

und das ist nicht der Nullvektor.


Aufgabe (7 (3+4) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

(mit ) und

und die Differentialform

auf dem .

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg in Abhängigkeit von .


Lösung

a) Die zurückgezogene Differentialform ist

b) Das Wegintegral ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, es sei

eine Funktion auf und eine - Form auf . Zeige


Lösung

Es sei und . Dann ist


Aufgabe (2 Punkte)

Beschreibe möglichst viele zusammenhängende eindimensionale Mannigfaltigkeiten mit Rand.


Lösung Mannigfaltigkeit mit Rand/Eindimensional/Beispiele/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Wir fassen den Subgraphen als eine Mannigfaltigkeit mit Rand auf, wobei der Rand aus dem Graphen, dem Grundintervall und den beiden Seitenkanten, aber ohne die vier Eckpunkte besteht. Bestätige den Satz von Stokes direkt für die Differentialform .


Lösung

Wegen

ist einerseits

der Flächeninhalt des Subgraphen, wobei eine Stammfunktion von sei. Für das Kurvenintegral müssen wir den Rand von gegen den Uhrzeigersinn parametrisieren. Das Grundintervall wird durch parametrisiert, dabei ist

dieser Ausschnitt des Wegintegrals ist also . Für die Seite rechts ist , eine Parametrisierung, wobei zwischen und wandert. Dabei ist

und das Wegintegral darüber ist . Der Beitrag der Kante links ist . Der Graph wird durch

parametrisiert. Dabei ist

Das Integral ist mit dem richtigen Vorzeichen gleich

Das gesamte Wegintegral ist somit ebenfalls


Aufgabe (9 Punkte)

Beweise den Brouwerschen Fixpunktsatz.


Lösung

Zur Notationsvereinfachung sei .  Nehmen wir an, dass es eine fixpunktfreie stetig differenzierbare Abbildung geben würde. Dann ist stets

sodass die beiden Punkte eine Gerade definieren. Die Idee ist, mittels dieser Geraden einen (der beiden) Durchstoßungspunkt mit der Sphäre als Bildpunkt einer Retraktion auf den Rand zu nehmen. Mit der Hilfsfunktion

definieren wir eine Abbildung

durch

Dabei ist der Ausdruck unter der Wurzel positiv. Dies ist bei klar und bei liegt ein Punkt auf der Sphäre vor, dessen Verbindungsgerade mit dem Kugelpunkt nicht senkrecht zu ist (der affine Tangentialraum zu einem Punkt der Sphäre trifft eine Kugel nur in einem Punkt), sodass

ist. Da die Quadratwurzel und der Betrag außerhalb des Nullpunktes stetig differenzierbar sind, handelt es sich bei und bei um stetig differenzierbare Abbildungen. Die Abbildung bildet nach Aufgabe 23.23 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) die Kugel auf die Sphäre ab und ihre Einschränkung auf die Sphäre ist die Identität. Damit liegt eine stetig differenzierbare Retraktion der abgeschlossenen Vollkugel auf ihren Rand vor, was nach Satz 23.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) nicht sein kann.


Aufgabe (5 (3+1+1) Punkte)

Wir betrachten den Zylinder mit dem trivialen Zusammenhang auf seinem Tangentialbündel.

  1. Bestimme in einer geeigneten isometrischen Karte die geodätische Differentialgleichung für diejenige geodätische Kurve auf , die

    und

    erfüllt.

  2. Löse die Differentialgleichung aus (1) in der Karte.
  3. Finde eine geodätische Kurve in , die die Bedingungen aus (1) erfüllt.


Lösung

  1. Wir betrachten die isometrische (inverse) Karte

    Dabei ist . Die Christoffelsymbole sind trivial, daher ist die geodätische Differentialgleichung gleich

    Die angegebenen Bedingungen bedeuten auf der Karte

    und

  2. Eine Lösung in der Karte ist
  3. Eine geodätische Kurve mit den Anfangsbedingungen ist daher