Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 1/kontrolle
- Übungsaufgaben
Es sei offen und
eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ein surjektives totales Differential besitze. Es sei ein Vektor des Tangentialraumes an die Faser zu durch . Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve
(für ein geeignetes ) mit und mit
gibt.
Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei
eine stetig differenzierbare Funktion, die auf keine Nullstelle besitzt. Zeige, dass man genau so gut als Faser zu
erhalten kann, dass die Gradienten zu und zu skalare Vielfache voneinander sind und dass die Tangentialräume nur von abhängen.
Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei
eine lineare Isomorphie, und
Zeige, dass sich die Konzepte Tangentialraum, tangentiales Vektorfeld, Lösung zu einer zugehörigen tangentialen Differentialgleichung auf und auf im Allgemeinen entsprechen (also mit Hilfe von ineinander überführt werden können). Wie sieht es mit dem Gradienten aus?
Es sei eine differenzierbare Hyperfläche und sei
eine auf einer offenen Umgebung definierte stetig differenzierbare Funktion. Es besitze in ein lokales Extremum auf . Zeige, dass die tangentiale Komponente von gleich ist.
Es sei die Einheitskugeloberfläche. Bestimme die orthogonale Zerlegung des Vektors in die tangentiale und in die orthogonale Komponente zum Punkt .
Es sei die Einheitssphäre. Es sei
die gleichförmige Kreisbewegung, die die Sphäre auf der Höhe durchläuft.
- Parametrisiere .
- Bestimme die tangentiale Beschleunigung von zu jedem Zeitpunkt .
Es sei der Graph zu
und es sei
der Weg auf dem Graphen oberhalb der Basiskurve . Bestimme zu jedem die tangentiale Beschleunigung von in .
Es sei eine Hyperebene, also die Faser zu einer linearen Funktion
über mit für zumindest einen Index . Interpretiere die Begriffe totales Differential, Gradient, Tangentialraum, Zerlegung in tangentiale und normale Komponente, tangentiale Beschleunigung und geodätische Kurve in diesem Spezialfall.
Es sei eine differenzierbare Hyperfläche, die eine Gerade enthalte. Zeige, dass die gleichförmig durchlaufene Gerade eine geodätische Kurve auf ist.
Zwei Punkte
, ,
heißen antipodal, wenn ihre Verbindungsgerade durch den Kugelmittelpunkt läuft.
Es sei eine Kugeloberfläche. Zeige, dass je zwei nicht antipodale Punkte , , auf genau einem Großkreis von liegen.
Ein Flugzeug soll von Osnabrück aus zu einem Zielort auf der Südhalbkugel fliegen. Kann es kürzer sein, in Richtung Norden zu fliegen?
Lucy Sonnenschein findet, dass die Tage zu kurz sind. Daher entschließt sie sich, jeden Tag, und zwar bei Tageslicht, um eine Zeitzone nach Westen zu fliegen, damit jeder Tag statt Stunden besitzt.
- Kann Lucy Sonnenschein mit dieser Strategie den Anteil an Lichtstunden in ihrem Leben erhöhen?
- Kann Lucy Sonnenschein mit dieser Strategie ihr Leben verlängern?
- Lucy hat jetzt Freunde in aller Welt. Nach wie vielen Tagen sieht sie sie wieder?
- Wodurch erlebt Lucy zeitliche Einbußen, die ihren täglichen Zeitgewinn ausgleichen?
- Hat das was mit Relativitätstheorie zu tun?
Man gebe ein Beispiel für eine zweifach differenzierbare Kurve an, die sich auf einem Großkreis der Einheitssphäre bewegt, die aber keine geodätische Kurve ist.
Ein geodätisches Dreieck auf der Sphäre
besteht aus drei Punkten , wobei je zwei Punkte durch einen Ausschnitt eines Großkreises verbunden werden (die Punkte seien nicht antipodal). Zeige, dass die Summe der Innenwinkel des Dreiecks größer als ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei die Hyperfläche, die durch die Bedingung
im gegeben ist. Bestimme die orthogonale Zerlegung des Vektors in die tangentiale und in die orthogonale Komponente zum Punkt .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei der Graph zu
und es sei
der Weg auf dem Graphen oberhalb der Basiskurve . Bestimme zu jedem die tangentiale Beschleunigung von in .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Am 11.4.2023 um 17:45 Uhr wird zur allgemeinen Verwunderung plötzlich die Erddrehung um die eigene Achse angehalten. GLeichzeitig werden der Luftwiderstand und sonstige Reibungsverluste abgestellt. Alle Menschen, Tiere und Gegenstände, die nicht fixiert sind oder sich nicht rechtzeitig festhalten, führen ihre momentane Bewegung nach dem Trägheitsgesetz einfach fort. Die Gravitation bleibt bestehen, sodass man zum Glück nicht in das Weltall entweicht. Wann kommt der Tafelschwamm aus dem Osnabrücker Hörsaal (er fliegt aus dem Fenster) zum ersten Mal wieder zu seiner Ausgangsposition zurück?
Aufgabe (4 (3+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei
eine zweimal stetig differenzierbare Kurve.
- Zeige, dass wenn eine geodätische Kurve ist, dann die Norm von konstant ist,
- Man gebe ein Beispiel einer Kurve mit konstanter Geschwindigkeitsnorm, die keine geodätische Kurve ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien stetig differenzierbare Funktionen und bzw. die zugehörigen differenzierbaren Hyperflächen, wobei in jedem Punkt von und in jedem Punkt von regulär sei. Es sei und es sei
eine zweimal stetig differenzierbare Kurve, die aufgefasst als Kurve in eine geodätische Kurve sei. Ist auch eine geodätische Kurve in ?