Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 18
- Übungsaufgaben
Skizziere die Funktion
Skizziere die Funktion
Ist diese Funktion im Nullpunkt stetig fortsetzbar?
Skizziere die Funktion
Zeige, dass die durch
definierte Funktion
nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für , , existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.
- ,
- ,
- .
Zeige, dass die Funktion
unendlich viele isolierte lokale Maxima und unendlich viele isolierte lokale Minima besitzt.
Wir betrachten die durch
definierte Funktion
Zeige, dass es zu jedem , eine Nullfolge derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten
gegen konvergiert.
Es sei eine stetige Funktion und sei der Graph von . Es sei der Abschluss von und sei
Zeige, dass jedes abgeschlossene Intervall als ein solches zu einer stetigen Funktion auftritt.
Es sei eine stetige Funktion und sei der Graph von . Es sei der Abschluss von und sei
Zeige, dass leer oder ein abgeschlossenes Intervall ist.
Es sei
eine holomorphe Funktion, die in eine wesentliche Singularität besitze. Zeige, dass für jedes ebenfalls eine wesentliche Singularität besitzt.
Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und
eine holomorphe Funktion. Zeige, dass in genau dann eine wesentliche Singularität besitzt, wenn dies für die Ableitung gilt.
Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und
eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Zeige, dass in genau dann eine wesentliche Singularität besitzt, wenn dies für gilt.
Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und
eine holomorphe Funktion. Es sei der Graph von und sei der Abschluss von . Zeige, dass es die drei Möglichkeiten
gibt.
Es sei die Menge der holomorphen Keime auf punktierten Kreisscheiben (zu variierenden Radien ).
Es sei eine meromorphe Funktion auf , die auf der punktierten Kreisscheibe holomorph sei. Zeige, dass kein Häufungspunkt der Nullstellen von ist.
Man gebe ein Beispiel einer holomorphen Funktion auf der punktierten Kreisscheibe derart, dass ein Häufungspunkt der Nullstellen von ist.
Es sei
eine holomorphe Funktion und sei der zugehörige Funktionskeim (es werden also solche Funktionen miteinander identifiziert, wenn sie auf einer hinreichend kleinen punktierten Kreisscheibe übereinstimmen). Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
- Der Nullpunkt ist kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von .
- Für jeden holomorphen Repräsentanten
ist der Nullpunkt kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von .
- Es gibt einen nullstellenfreien holomorphen Repräsentanten
Es sei die Menge der holomorphen Keime auf punktierten Kreisscheiben mit der Eigenschaft, dass der Nullpunkt kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von ist (abgesehen vom Nullkeim, der zu gehört).
- Zeige, dass ein kommutativer Ring ist.
- Zeige, dass ein Körper ist.
Es sei
und
(mit variierend). Zeige, dass die folgenden (jeweils echten) Inklusionen vorliegen.
Es sei eine diskrete Teilmenge und sei
eine holomorphe Funktion. Es gebe ein mit
für alle . Zeige, dass konstant ist.
Zeige, dass Satz 18.6 nicht für holomorphe Funktionen gilt, die auf einem nach außen unbeschränkten Kreisring definiert sind.
Es sei eine auch einem nach außen unbeschränkten Kreisring definierte holomorphe Funktion. Zeige, dass genau dann eine rationale Funktion ist, wenn die auf einer offenen punktierten Umgebung der definierte holomorphe Funktion
im Nullpunkt keine wesentliche Singularität besitzt.
Es sei . Zeige, dass es Punkte derart gibt, dass es auf
eine von der Identität verschiedene biholomorphe Abbildung gibt.
Es seien offene Teilmengen, die zueinander biholomorph seien. Zeige, dass die Automorphismengruppen und zueinander isomorph sind.
Es sei
eine stetige Funktion mit . Zeige, dass durch
eine Funktion
gegeben ist, die die Bedingung
für alle erfüllt.
Es sei
eine Funktion, wir betrachten dazu die zusammengesetzte Funktion
also
auf .
- Bestimme für die lineare Funktion
(mit dem Proportionalitätsfaktor )
die zugehörige Funktion .
- Es sei nun eine beliebige
ungerade Funktion.
Zeige, dass die Bedingung
für alle erfüllt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei
durch
gegeben. Begründe, dass das Singularitätsverhalten von um nicht das Singularitätsverhalten des Betrages einer holomorphen Funktion auf sein kann.
Aufgabe (3 Punkte)
Beschreibe die Gruppenstruktur auf der Gruppe der Automorphismen von mit Hilfe der Menge .
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die holomorphen Funktionen
mit der Eigenschaft, dass sie im Nullpunkt keine wesentliche Singularität besitzen und dass
für alle ist.
Aufgabe (? Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Beschreibe die biholomorphen Automorphismen auf der oberen Halbebene ähnlich zu Satz 18.13.
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