Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 50

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom ${}P$ durch ${}X^{m}$ teilt?

Übungsaufgaben

Aufgabe

Setze in das Polynom ${}2X^{3}-{\frac {1}{4}}X^{2}+{\frac {2}{5}}X+{\frac {3}{4}}$ die Zahl ${}{\frac {2}{3}}$ ein.

Aufgabe

Setze in das Polynom ${}2X^{4}+X^{3}-3X^{2}+X+5$ die Zahl ${}{\sqrt {2}}$ ein.

Aufgabe

Schreibe das Polynom

$X^{3}+2X^{2}-3X+4$

in der neuen Variablen ${}U=X+2$.

Aufgabe *

1. Berechne das Produkt

   ${\left(2-3X+X^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4X-3X^{2}\right)}$

   im Polynomring ${}\mathbb {Q} [X]$.

2. Berechne das Produkt

   ${\left(2-3{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}^{2}\right)}$

   in ${}\mathbb {R}$ auf zwei verschiedene Arten.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}a\in K$ ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus

$K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto a.$

Aufgabe *

Man gebe ein Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ an, das nicht zu ${}\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl ${}n$ gilt: ${}P(n)\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe

Bestimme die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi \circ \psi$ und ${}\psi \circ \varphi$ für die Abbildungen ${}\varphi ,\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die durch

$\varphi (x)=x^{3}+3x^{2}-4\,\,{\text{ und }}\,\,\psi (x)=x^{2}+5x-3$

definiert sind.

Aufgabe

Bestimme die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi \circ \psi$ und ${}\psi \circ \varphi$ für die Abbildungen ${}\varphi ,\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die durch

$\varphi (x)=x^{4}+3x^{2}-2x+5\,\,{\text{ und }}\,\,\psi (x)=2x^{3}-x^{2}+6x-1$

definiert sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung (also das Einsetzen eines Polynoms in ein weiteres) von zwei Polynomen wieder ein Polynom ist.

Aufgabe *

Es seien

$f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

${}{\left(h\cdot g\right)}\circ f={\left(h\circ f\right)}\cdot {\left(g\circ f\right)}\,.$

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

${}{\left(h\circ g\right)}\cdot f={\left(h\cdot f\right)}\circ {\left(g\cdot f\right)}\,$

nicht gelten muss.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}P(x)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}$ eine Polynomfunktion. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit Grenzwert ${}x$. Zeige durch Induktion über ${}d$, dass dann auch die durch

${}y_{n}:=P(x_{n})\,$

definierte Folge konvergiert, und zwar gegen ${}P(x)$.

Aufgabe

a) Für welche reellen Polynome ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ist die zugehörige polynomiale Abbildung

$(\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto P(x),$

ein Gruppenhomomorphismus?

b) Für welche reellen Polynome ${}Q\in \mathbb {R} [X]$ ist allenfalls ${}0$ eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung

$(\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot ),\,x\longmapsto Q(x),$

ein Gruppenhomomorphismus?

Aufgabe

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=3X^{4}+7X^{2}-2X+5$ und ${}T=2X^{2}+3X-1$ durch.

Aufgabe *

Führe in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=X^{3}+4X^{2}+3X+4$ und ${}T=3X^{2}+2X+1$ durch.

Aufgabe

Führe in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$ folgende Polynomdivision aus.

$X^{4}+5X^{2}+3\,{\text{ durch }}\,2X^{2}+X+6.$

Aufgabe

Führe in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=5X^{4}+3X^{3}+5X^{2}+3X+6$ und ${}T=3X^{2}+6X+4$ durch.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und seien ${}P,T\in K[X]$ Polynome. Zeige, dass es für die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ unerheblich ist, ob man sie in ${}K[X]$ oder in ${}L[X]$ durchführt.

Aufgabe

Vergleiche die Division mit Rest in ${}\mathbb {Z}$ und in ${}K[X]$ (${}K$ ein Körper).

Aufgabe *

Zeige, dass

${}z={\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\,$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+3X+2$

ist.

Aufgabe *

Es sei

${}P=X^{3}+bX^{2}+cX+d\,$

ein normiertes Polynom über einem Körper ${}K$. Es seien ${}u,v,w$ drei (verschiedene) Zahlen aus ${}K$. Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von ${}P$ sind, wenn sie das Gleichungssystem

${}uvw=-d\,,$

${}uv+uw+vw=c\,,$

${}u+v+w=-b\,,$

erfüllen.

Aufgabe *

Bestimme die ${}x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

${}P=X^{3}+4X^{2}-7X+1\,$

und

${}Q=X^{3}-2X^{2}+5X+3\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass jedes Polynom ${}P\in K[X],\,P\neq 0,$ eine Produktzerlegung

$P=(X-\lambda _{1})^{\mu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\mu _{k}}\cdot Q$

mit ${}\mu _{j}\geq 1$ und einem nullstellenfreien Polynom ${}Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ und die zugehörigen Exponenten ${}\mu _{1},\ldots ,\mu _{k}$ bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ${}T$ ein Teiler von ${}P$. Zeige, dass ${}T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors ${}X-a$ in ${}T$ durch seine Vielfachheit in ${}P$ beschränkt ist.

Aufgabe *

Es seien ${}P$ und ${}Q$ verschiedene normierte Polynome vom Grad ${}d$ über einem Körper ${}K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?

Aufgabe *

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=2,\,f(1)=0,\,f(3)=5.$

Aufgabe

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}+dX^{3}\,$

mit ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(0)=1,\,f(1)=2,\,f(2)=0,\,f(-1)=1.$

Aufgabe *

1. Bestimme ein Polynom ${}P$ vom Grad ${}\leq 3$ mit

   ${}P(-1)=-4\,,$

   ${}P(0)=2\,,$

   ${}P(1)=2\,$

   und

   ${}P(2)=3\,$

2. Bestimme ein normiertes Polynom ${}Q$ vom Grad ${}3$ mit

   ${}Q(0)=1\,,$

   ${}Q(2)=3\,$

   und

   ${}Q(3)=10\,.$

3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu ${}P$ und zu ${}Q$.

Aufgabe

Es sei ${}K[X]$ der Polynomring über einem Körper ${}K$. Zeige, dass die Menge

${\left\{{\frac {P}{Q}}\mid P,Q\in K[X],\,Q\neq 0\right\}},$

wobei zwei Brüche ${}{\frac {P}{Q}}$ und ${}{\frac {P'}{Q'}}$ genau dann als gleich gelten, wenn ${}PQ'=P'Q$ ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.

Den in der vorstehenden Aufgabe eingeführten Körper nennt man den Körper der rationalen Funktionen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, ${}K[X]$ der Polynomring und

$Q=K(X)$

der Körper der rationalen Funktionen über ${}K$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 49.8, dass man ${}Q$ zu einem angeordneten Körper machen kann, der nicht archimedisch angeordnet ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.

Aufgabe

Berechne die Hintereinanderschaltungen ${}f\circ g$ und ${}g\circ f$ der beiden rationalen Funktionen

$f(x)={\frac {2x^{2}-4x+3}{x-2}}\,\,{\text{ und }}\,\,g(x)={\frac {x+1}{x^{2}-4}}.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und seien ${}P(x)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}$ und ${}Q(x)=\sum _{i=0}^{e}b_{i}x^{i}$ Polynome mit ${}a_{d},b_{e}\neq 0$. Man bestimme in Abhängigkeit von ${}d$ und ${}e$, ob die durch

$z_{n}={\frac {P(n)}{Q(n)}}$

(für ${}n$ hinreichend groß) definierte Folge konvergiert oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

1. Berechne das Produkt

   ${\left(1-{\frac {5}{3}}X+{\frac {1}{2}}X^{2}\right)}\cdot {\left(2-{\frac {3}{4}}X+{\frac {1}{3}}X^{2}-X^{3}\right)}$

   im Polynomring ${}\mathbb {Q} [X]$.

2. Berechne das Produkt

   ${\left(1-{\frac {5}{3}}{\sqrt {5}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}^{2}\right)}\cdot {\left(2-{\frac {3}{4}}{\sqrt {5}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {5}}^{2}-{\sqrt {5}}^{3}\right)}$

   in ${}\mathbb {R}$ auf zwei verschiedene Arten.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=5X^{4}-6X^{3}+{\frac {3}{5}}X^{2}-{\frac {1}{2}}X+5$ und ${}T={\frac {1}{7}}X^{2}+{\frac {3}{7}}X-1$ durch.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=6X^{4}+2X^{3}+4X^{2}+2X+5$ und ${}T=5X^{2}+3X+2$ durch.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

${}X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\cdots +X^{2}-X+1\right)}\,$

für ${}u$ ungerade.

Aufgabe (4 Punkte)

Man finde ein Polynom ${}f$ vom Grad ${}\leq 3$, für welches

$f(0)=-1,\,f(-1)=-3,\,f(1)=7,\,f(2)=21$

gilt.